大家好，今天和大家分享矩形和直角三角形的规律和应用。
有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.
例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G
求证：PF＋PG = AB
证明：过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形
∴AH = GP PH∥AD
∴∠ADB =∠HPB
∵BE = DE
∴∠EBD = ∠ADB
∴∠HPB =∠EBD
又∵∠PFB =∠BHP = 90o
∴△PFB≌△BHP
∴HB = FP
∴AH＋HB = PG＋PF
即AB = PG＋PF
这道题的第二种证明方法，可以延长GP交BC于N，则四边形ABNG为矩形，不再证明！
直角三角形常用辅助线方法
作斜边上的高
例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E
求证：AC = CE
证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG
∴∠FAE = ∠AEG
∵四边形ABCD为矩形
∴∠BAD = 90° OA = OD
∴∠BDA =∠CAD
∵AF⊥BD
∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF = 90°
∴∠BAF =∠ADB =∠CAD
∵AE为∠BAD的平分线
∴∠BAE =∠DAE
∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC
即∠FAE =∠CAE
∴∠CAE =∠AEG
∴AC = EC
作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线
①有斜边中点时
例：已知，如图，AD、BE是△ABC的高， F是DE的中点，G是AB的中点
求证：GF⊥DE
证明：连结GE、GD
∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点
∴GE =1/2AB，GD =1/2AB
∴GE = GD
∵F是DE的中点
∴GF⊥DE
②有和斜边倍分关系的线段时
例：已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC =1/2BD
求证：∠ACB = 2∠B
证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE =1/2BD
∴∠1 =∠B
∵AC =1/2BD
∴AC = AE
∴∠ACB =∠2
∵∠2 =∠1＋∠B
∴∠2 = 2∠B
∴∠ACB = 2∠B
有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题
例:已知：△ABC中，D为AB中点，E为BC的三等分点，（BE＞CE）AE、CD交于点F
求证：F为CD的中点
证明：过D作DN∥AE交BC于N
∵D为AB中点
∴BN = EN
又∵E为BC的三等分点
∴BN = EN = CE
∵DN∥AE
∴F为CD的中点
正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等
例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F， 求证：AP = EF
证明:连结AC 、PC
∵四边形ABCD为正方形
∴BD垂直平分AC，∠BCD = 90°
∴AP = CP
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90°
∴四边形PECF为矩形
∴PC = EF
∴AP = EF
有正方形一边中点时常取另一边中点
例：已知,如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N
求证：MD = MN
证明：取AD的中点P，连结PM，则DP = PA =1/2AD
∵四边形ABCD为正方形
∴AD = AB, ∠A =∠ABC = 90°
∴∠1＋∠AMD = 90°，又DM⊥MN
∴∠2＋∠AMD = 90°
∴∠1 =∠2
∵M为AB中点
∴AM = MB =1/2AB
∴DP = MB AP = AM
∴∠APM =∠AMP = 45°
∴∠DPM =135°
∵BN平分∠CBE
∴∠CBN = 45°
∴∠MBN =∠MBC＋∠CBN = 90°＋45°= 135°
即∠DPM =∠MBN
∴△DPM≌△MBN
∴DM = MN
注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。
下面给大家留一道练习题，欢迎大家踊跃留言，说出自己的方法：
练习：已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且AP = PC＋BC
求证：∠BAP = 2∠QAD
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