一线三等角模型

学习目标：用“一线三等角”基本模型，解决全等三角形、相似三角形中的相关问题

重点：掌握“一线三等角”基本模型

难点：“一线三等角”基本模型的提炼、变式和运用

所谓“一线三等角”，通俗地讲就是一条直线上有三个相等的角，一般就会存在相似三角形，当对应边也相等时，就会有全等三角形，即：“一线三等角，全等相似两边找”

看一下它的基本模型：

锐角型：

如图，等腰△ABC中，∠DEF=∠B=∠C，图中有没有相似三角形？请说明理由。

∵∠1+∠4=180°-∠B，∠1+∠2=180°-∠DEF

∠B=∠DEF

∴∠2=∠4

又∵∠B=∠C

∴△BDE∽△CEF

钝角型：

如图，四边形ABCD中，∠DEC=∠A=∠B，找出图中相似三角形并证明。

∵∠1+∠4=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠DEC

∠A=∠DEC

∴∠2=∠4

又∵∠A=∠B

∴△ADE∽△BEC

直角型：

如图，A、B、C三点共线，∠A=∠C=∠DBE=90°，用同样的方法，易证△ABD∽△CEB，直角型的三垂直我们又把它叫做“三垂直模型”，它的应用更加广泛，考试出现的概率最大

全等型：

如图，B、C、D三点共线，∠B=∠D=∠ACE，AB=CD，求证△ABC≌△CDE.

由一线三等角，易证∠1=∠A

又∵AB=CD，∠B=∠D

∴△ABC≌△CDE（ASA）

由以上基本模型发现，一线三等角模型中，一定存在相似三角形，有可能存在全等三角形（全等是相似的一种特殊情况）

中点型“一线三等角”模型

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，D是BC边的中点，请找出图中所有的相似三角形，并证明。

我们通过观察发现，以上“一线三等角模型”有个共同点，三个角均在直线的同一侧，当这三个角不在同一侧时，会有相似三角形存在吗？如下图，自己找出相似三角形并证明。

典型例题：