「初中数学」分式方程的分类提高题型

写在前面

分式方程作为中考计算题的常考类型，还是非常重要的，许多同学对于增根，无解的概念还是十分模糊，容易混淆，因此本讲就重点从增根的产生开始，详细讲解三类分式提高题．

一、分式方程无解的两种情况

例1

分析：

x＝2是原方程的解吗？

不是！当x＝2时，恰好使原分式方程中的分母等于0，从而使分式方程无意义．这样的根就叫做原分式方程的增根．

那么，解分式方程产生增根的原因是什么呢？

增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，这一步必须满足方程的两边都乘(或除以)的是同一个不为0的数．而当x＝2时，相当于原分式方程的两边都乘的数是0，那么变形前后的方程就不是同解方程了．

说得再直观些，比如方程2x＝4，两边同乘0，变成了0x＝0，前者只有一个解，后者有无数解，就不是同解方程．

因此，上面求得的根只能是原方程的增根．由此可知，增根有两条重要性质：

1、增根是去分母后所得整式方程的根．

2、增根使最简公分母等于0．

由此，我们应该在解出分式方程后，作必不可少的一步工作，那就是检验．

经检验，x＝2是增根，

原方程无解．

例2

分析：

此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．

由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．

应该共包含两种情形：

(1)原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，是原分式方程的增根，从而原方程无解．

(2)原方程去分母后的整式方程出现0x＝b(b≠0)的形式，此时整式方程无解，原方程也无解．

二、增根，无解，有范围典型题3类

(1)含参方程有增根

例1

分析：

分式方程有增根，说明同乘的最简公分母为0，即可确定增根．而要求参数，则必须先解分式方程，去分母转化为整式方程，用含参数的代数式表示未知数，把是增根的未知数的值再代入，即可求出参数．

解答：

x－1＝0，增根是x＝1

两边同乘(x－1)得，

x－3＝－m，

x＝3－m，当x＝1时，m＝2

变式

分析：

由题意，可知最简公分母为(x＋2)(x－2)，则增根的值有2个，将其化成整式方程后，应该将两个值都代入．

解答：

(2)含参方程无解

例2

分析：

前文提到，分式方程无解，无非两种情况：(1)整式方程的解是增根(2)整式方程无解．

因此，必须把两种情况都考虑在内．

解答：

变式

分析：

考虑两种情况，在考虑是增根的情况下，应该注意增根是两个．

解答：

(3)含参方程的解有范围

例3

分析：

显然，还是要先把分式方程转化为整式方程求解，用含参数的代数式表示未知数，根据解的范围，建立含参数的不等式，求出参数的范围．

但这里尤其值得注意的是，未知数不能是增根，即含参数的代数式的值不能等于增根的值．

解答：

变式

分析：

方法同上，注意增根有2个．

解答：

小结

以上3种例题，相信同学们都看懂了，到了总结归纳的时候了．

一、分式方程有增根方法总结：

（1）化为整式方程．

（2）确定增根．

（3）把增根代入整式方程求出字母参数的值．

二、分式方程无解方法总结：

（1）化为整式方程．(可能含字母参数为系数)

（2）把增根代入整式方程，求出字母参数的值．

（3）整式方程无解，则含字母参数的系数为0，求出字母参数的值．

三、分式方程的解有范围方法总结：

（1）化为整式方程．(可能含字母参数为系数)

（2）用含字母参数的代数式表示未知数，解不等式．

（3）把增根代入整式方程，求出字母参数不能取的值．

三、分式方程提高题两类

(1)待定系数法的运用

例1

分析：

本题既可以从通分的角度来看，也可以从解分式方程入手，得到4x＋1与含参数A，B的代数式相等的一个等式，继而利用待定系数法，这个代数式的一次项系数是4，常数项是1，得到关于A，B的二元一次方程，从而求出A，B的值．

解答：

(2)复杂分式方程

例2

分析：

本题若一次性去分母，最简公分母很复杂，因此，可以等式两边分别通分，观察分子之后，继续往下做．

解答：