「初中数学」想不到的中线，看不见的中位线

对于给出中点时，部分同学对中位线、中线掌握不到位，遇到题目中有直角三角形斜边上的中点，经常视而不见，从而想不到斜边中线处理线段之间数量关系时的妙用；而有时出现多个中点，想不到再找中点，从而也就看不见隐藏的中位线了，本讲就精选几道例题帮助同学们突破难点．

一、想不到的斜边中线

例1：

如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为________．

分析：

根据DE是中位线，可知DE长是第三边BC长的一半，点D是AB的中点．由∠AFB＝90°，则Rt△ABF中，可知DF作为斜边中线，长度等于斜边AB长的一半，将DE的长减去DF的长，即可得到EF的长．

解答：

例2：

如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；

(2)求证：∠DHF＝∠DEF．

分析：

(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE∥AC，EF∥AB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

(2)D，F分别作为Rt△ABH，Rt△ACH斜边AB，AC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DH＝AD，FH＝AF，∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，即∠BAC＝∠DHF，由平行四边形对角相等可得∠DEF＝∠BAC，等量代换即可得证．

解答：

证明：

(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴DE、EF是△ABC的中位线，

∴DE∥AC，EF∥AB，

∴四边形ADEF是平行四边形．

(2)∵AH是边BC上的高，D，F分别是AB，CA中点

∴Rt△ABH中，DH＝AD，Rt△ACH中，FH＝AF，

∴∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，

∴∠DHF＝∠BAC，

∵四边形ADEF是平行四边形，

∴∠DEF＝∠BAC，

∴∠DHF＝∠DEF．

本题也可连接DF，证明△DEF≌△FHD

小结：

许多题目中，会出现多个中点，有的中点与另一中点相连，作为中位线；而有的中点与直角顶点相连，就成了斜边中线，而这都涉及到线段长度之间的倍数关系，尤其是后者，不能忽视．

二、看不见的中位线

(1)补全三角形

例1：

在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于D，E是AB中点，AC＝15，BC＝27，求DE的长．

分析：

本题中，点E已经是AB的中点，由CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到可以构造等腰三角形，利用三线合一，使点D成为另一个中点，从而让ED变成“看得见”的中位线．

解答：

例2：

如图△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求证：GH∥BC；

(2)若AB＝9，AC＝14，BC＝18，求GH．

(3)若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B的平分线及∠C的外角平分线”(如图2所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图3所示)，其余条件不变，求证：结论GH∥BC仍成立．

分析：

与上例类似，有角平分线，有垂直，延长构造等腰三角形，利用三线合一．

解答：

(1)证明：

分别延长AG，AH交BC于M，N，

在△ABM中

∵BG平分∠ABM，BG⊥AM，

∴∠ABG＝∠MBG，∠BGA＝∠BGM＝90°

∴∠BAM＝∠BMA．

∴BA＝BM，G是AM的中点．

同理CA＝CN，H是AN的中点，

∴GH是△AMN的中位线，HG∥MN，HG∥BC．

(2)

由(1)知，△ABG≌△MBG，△ACH≌△NCH，

∴AB＝BM＝9，AC＝CN＝14．

∴MN＝BM＋CN－BC

＝AB＋AC－BC＝9＋14－18＝5

(3)无字证明如下，相信同学们都能看懂．

(2)找边的中点

例1：

分析：

根据要证明的结论，我们可以发现这与三角形三边关系有关，因此，要构造一个以CD长的一半，AB长的一半，EF长为三边的三角形，自然想到中位线，取BC边的中点即可．

解答：

变式：

已知在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、DC的中点．求证：OM＝ON．

分析：

要证OM＝ON，可以从等角对等边入手，证∠OMN＝∠ONM，考虑到对角线AC＝BD，能不能再来一次等边对等角呢？构造AC，BD的一半即可，则需要构造中位线，自然想到BC的中点．

解答：

(3)找对角线的中点

例1：

如图，四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC中点．求证：AB＋CD＞2EF．

分析：

根据要证明的结论，，似乎又与三角形三边关系有关，将不等式两边同除以2，则只需构造以EF，AB长的一半，DC长的一半为边的三角形，想到连接对角线取中点．

解答：

变式：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．

分析：

与例1的变式类似，要借助其他两个相等的角转化，考虑到对边相等，则构造AD，BC的一半即可，则需要构造中位线，自然想到对角线AC的中点．

解答：

小结：

对于以上4题，我们都需要找中点，构造中位线，但方法各异，有取四边形边的中点，有取四边形对角线的中点，能否找到一些规律呢？其实不难！

例1，例2，最后证明的结论都与一组对边有关．

例1，要证明的一组对边必作为第三边，已经给出对角线的中点，那么必然要再取另一对边中的一条的中点．

例2，要证明的一组对边必作为第三边，已经给出另一组对边的中点，，那么必然再取一条对角线的中点．

例1的变式，例2的变式，最后要证明的结论都是角等，也就是边等．

例1的变式中，对角线相等，必作为第三边，给出一对边的中点，那么必然再取另一组对边中的一条的中点．

例2的变式中，一组对边相等，必作为第三边，给出另一组对边的中点，那么必然再取一条对角线的中点．

由此可见，关键在于选择谁作第三边．

有些结论比较明显的，直接以结论中涉及的边为第三边，

对于不明显的，则需要转换，但一般如果题目中有两条线段相等的条件，则这两条相等的线段必然作第三边．

本讲思考题3例

1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝________．

2、如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为________．

3、如图，在△ABC中，若∠B＝2∠C，AD⊥BC，E为BC边中点，求证：AB＝2DE．