九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）

1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；

2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力。

一、相似三角形的概念

如图所示：在 △ABC 和 △A'B'C' 中 ，

如果

则 △ABC 和 △A'B'C' 相似 ，记作： △ABC ∽ △A'B'C' ，k 是相似比，“∽” 读作 “相似于” 。

注：当相似比为 1 时，两个三角形全等.（相似不一定全等，但全等一定相似！）。

二、相似三角形的判定方法（4种方法）

1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；

2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；　

3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应边所包含的夹角相等，那么这两个三角形相似.；

4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

三、相似三角形的常见图形及其变换

四、例题讲解

例题1、下列说法错误的是（ C ）

A、有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似；

B、全等的两个三角形一定相似；

C、对应角相等的两个多边形相似 ；

D、两条邻边对应成比例的两个矩形相似 。

例题2、如图，在正方形 ABCD 中 ，E、F 分别是边 AD、CD上的点，AE = ED ， DF = 1/4DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G 。

① 求证：△ABE∽△DEF；

② 若正方形的边长为 4，求线段 BG 的长。

注：此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用。

例题3、如图，小正方形边长均为 1，则图中的三角形（阴影部分）与 △ABC 相似的是哪一个？

解题思路：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似。

注：判断三边是否成比例，应先将三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似。

例题4、已知，如图所示，∠ABC = ∠CDB = 90° ，AC = a , BC = b , 当 BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

解题思路：由于两个三角形是直角三角形，所以只要有夹直角两边的比相等，就有两个三角形相似。

注：本题仍是考虑两个三角形有一个角相等时，夹这两个角两边的比相等时有两种情况，要注意分类讨论。

例题5、如图所示，在正方形 ABCD和等腰 Rt△ECF 中 ，其中 CE = CF ，G 是 CD 与 EF 的交点。

① 求证：△BCF≌△△DCE ；

② 若 BC = 5 , CF = 3 , ∠BFC = 90° ，求 DG ： GC 的值 。

解析：