例题1、古希腊数学家把数 1 ， 3 ， 6 ， 10 ，15 ， 21 ，...... 叫做三角形数，它有一定的规律性。若把第一个三角形数记为 a1 ，第二个三角形数记为 a2 ，......，第 n 个三角形数记为 an ，则 an + a(n+1) = ?
答案：（n + 1）^2 。
例题2、在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点 P（a , b）若规定以下三种变换 ：
① f（a , b）= （-a , b）， 如 f（2 , 5）= （-2 , 5）；
② g（a , b） = （b , a）, 如 g（2 , 5）= （5 , 2）；
③ h（a , b）= （-a , -b），如 h（2 , 5）= （-2 , -5） 。
根据以上变换，那么 f（h（5 ， -3））等于多少 ？
答案：（5,3）。
例题3、如图，已知等腰直角 △ABC 的直角边长为 1 ，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边 ，画第二个等腰 Rt△ACD ，在以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边 ，画第三个等腰 Rt△ADE ， ... ， 依次类推到第五个等腰 Rt△AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积是多少 ？
答案：31/2 。
例题4、如图所示，直线 OP 经过点 P（4,4√3），过 x 轴上的点 1、3、5、7、9、11 ......分别作 x 轴的垂线，与直线 OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为 S1 , S2 , S3 , ... , Sn , 则 Sn 关于 n 的函数关系式是 ？
答案： Sn = 4√3 （2n - 1） 。
例题5、现将 1、 √2、√3、√6 四个数按下列方式排列 。
若规定 （m , n）表示第 m 排从左到右第 n 个数 ， 则 （5 ， 4）与（15 ， 7）表示的两数之积是多少？
答案： 2√3 。
例题6、现将一块直角三角形的花圃进行改造，已知两直角边长分别为 6 m 、8 m 。若将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为直角边的直角三角形，那么扩建后的等腰三角形花圃的周长是多少 m ？
解：如图，在 Rt△ABC 中 ，∠ACB = 90° ，AC = 8 m, BC = 6 m,
由勾股定理得 ： AB = 10 m ，扩充部分为 Rt△ACD 。
扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况：
（1）如图 ① ，当 AB = AD = 10 m 时 ，可求得 CD = CB = 6 m ，
故 △ABD 的周长为 AB + AD + BD = 32 m ；
（2）如图 ② ，当 AB = BD = 10 m 时 ，可求得 CD = BD - BC = 4 ,
在 Rt△ACD 中 ，由勾股定理可得 AD = √（AC^2 + CD^2）= 4√5 ,
故 △ABD 的周长为 AB + BD + AD = (20 + 4√5) m ；
（3）如图 ③ ，当 AB 为底时 ，设 AD = BD = x ，则 CD = x - 6 ,
在 Rt△ACD 中 ，由勾股定理可得 AC^2 + CD^2 = AD^2 ,
所以 8^2 + （x - 6）^2 = x^2 , 解得： x = 25/3 ,
故 △ABD 的周长为 AB + BD + AD = 80/3 m 。
例题7、仔细观察下表后，请回答下列问题：
① 当正数 x 的值逐渐增大时，x 的算术平方根有什么变化规律？
② 正数 n 的算术平方根与它本身有怎样的大小关系 ？
③ 如果 10 的算术平方根为 a ，则 a 的整数部分是什么？小数部分又是什么？请说明理由。
解：
① x 的算术平方根也逐渐增大 ；
② 当 0 < n < 1 时 ，√n > n ;
当 n = 1 时 ， √n = n ;
当 n > 1 时 ， √n < n ;
③ a 的整数部分是 3 ， 小数部分是 √10 - 3 。
理由：
∵ 9 < 10 < 16 , ∴ √9 = 3 < √10 = a < √16 = 4 ,
∴ a 的整数部分是 3 ， 小数部分是 a - 3 （即 √10 - 3） 。
例题8、如图所示，BE 与 CD 相交于点 A ，CF 是 ∠BCD 的角平分线，EF 是 ∠BED 的角平分线，试求 ∠F 与 ∠B 、∠D 之间的数量关系，并说明理由 。
解：设 DC 、 EF 相交于点 M ，CF 、BE 相交于点 N ，
则有 ： ∠DCF + ∠F = ∠D + ∠DEM ①，
∠F + ∠FEB = ∠B + ∠BCF ②，
① + ②， 得 （∠F +∠F ）+ （∠DCF + ∠FEB）= （∠D + ∠B）+ （∠DEM + ∠BCF） ，
∵ CF 是 ∠BCD 的角平分线，EF 是 ∠BED 的角平分线，
∴ ∠DEM = ∠FEB ， ∠BCF = ∠DCF ，
∴ ∠DCF + ∠FEB = ∠DEM + ∠BCF ，
∴ 2∠F = ∠D + ∠B 。
例题9、已知，用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨 ；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨。某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆 ， B 型车 b 辆 ，一次运完，且恰好每辆车都装满货物。根据以上信息，请回答下列问题 ：
（1） 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨 ；
（2）请你帮该物流公司设计租车方案 ；
（3）若 A 型车每辆租金 100 元/次 ，B 型车每辆需租金 120 元/次 ，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 。
解：
（1）设 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货 x 吨 ， y 吨 ，
根据题意得
故1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货 3 吨 ， 4 吨 。
（2）根据题意得，3a + 4b = 31 ， 即 b = ( 31 - 3a ) / 4 ,
要使 a , b 都为正整数的情况共有三种情况 ：
① a = 1 , b = 7 ；
② a = 5 , b = 4 ;
③ a = 9 , b = 1 。
故租车方案分别为 ：
① A 型车 1 辆 ， B 型车 7 辆 ；
② A 型车 5 辆 ， B 型车 4 辆 ；
③ A 型车 9 辆 ， B 型车 1 辆 。
（3）设车费为 w 元 ，则 w = 100a + 120b ,
方案 ① 花费为 100 × 1 + 120 × 7 = 940 元 ；
方案 ② 花费为 100 × 5 + 120 × 4 = 980 元 ；
方案 ③ 花费为 100 × 9 + 120 × 1 = 1020 元 。
故方案 ① 最省钱 ，即租用 A 型车 1 辆 ，B 型车 7 辆 时 ，最少租车费为 940 元 。
例题10、已知直线 AB 过点 A（2 ， 1）和点 B ，其中点 B 是另一条直线 y = x + 2 与 y 轴的交点 。
（1）求直线 AB 的表达式 ；
（2）点 P 在直线 AB 上 ，是否存在点 P 使得 △BOP 的面积为 1 ，若存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 。
（3）点 P 为直线 AB 上的一个动点 ，当点 P 在线段 AB 之间时，若 S△BOP = 2S△AOP ，求出此时点 P 的坐标 。
解：
（1）设直线 AB 的表达式为 y = kx + b ( k ≠ 0 ) ,
根据题意得 ： A（2 ，1），B（0 ，2），
则有：1 = 2k + b , 2 = b ,
解得 ：k = -1/2 ,
所以直线 AB 的表达式为 y = -1/2 x + 2 .
（2）设点 P 的坐标为 （a , -1/2 a + 2）,
则 S△BOP = 1/2 OB ▪ ∣a∣= 1/2 × 2 ▪ ∣a∣ = ∣a∣ ，
∵ S△BOP = 1 ， ∴ ∣a∣ = 1 ， ∴ a = ±1 ,
∴ P 点的坐标为 （1 ， 3/2）或 （-1，5/2）。
（3）设点 P 的坐标为 （a , -1/2 a + 2）,
∵ S△BOP = 1/2 OB ▪ ∣a∣= 1/2 × 2 ▪ ∣a∣ = ∣a∣，
S△AOP = S△AOB - S△BOP = 2 - ∣a∣ ，
又 ∵ S△BOP =2 S△AOP ，
∴ ∣a∣ =2 ▪ ( 2 - ∣a∣) ，解得 ：a = ±4/3 ，
∵ 点 P 在线段 AB 之间 ， ∴ a = 4/3 ,
∴ P 点的坐标为 （4/3 ，4/3）。
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