例1、设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 = 1 ,
例题1图（1）
（1）求 a2 的值 ；
（2）求数列 { an } 的通项公式；
（3）证明: 对一切正整数 n ,有
例题1图（2）
解：
（1）依题意， 2S1 = a2 - 1/3 - 1 - 2/3 , 又 S1 = a1 = 1 , 所以 a2 = 4 ；
（2）当 n ≥ 2 时，有
例题1图（3）
两式相减得
例题1图（4）
整理得
例题1图（5）
故数列 { an/n } 是首项为 a1/1 ,公差为 1 的等差数列,
所以
例题1图（6）
（3）当 n = 1 时 ，1/a1 = 1 < 7/4 ; 当 n = 2 时 ，1/a1 + 1/a2 = 1 + 1/4 = 5/4 < 7/4 ;
当 n = 3 时
例题1图（7）
例题1图（8）
综上,对一切正整数 n ,有
例题1图（9）
放缩技巧：
所谓放缩的技巧：即欲证 A ≤ B ，欲寻找一个（或多个）中间变量 C ，使 A ≤ C ≤ B ，
由 A 到 C 叫做 “放”，由 B 到 A 叫做 “缩” 。
常用的放缩技巧
常用的放缩技巧图（1）
常用的放缩技巧图（2）
放缩方法归纳：
① 先求和后放缩
例题2、正数数列 {an} 的前 n 项的和为 Sn ，且满足关系式 2✔Sn = an + 1 ，试求：
（1）数列 {an} 的通项公式；
（2）设 bn = 1/（an·an+1）, 数列 { bn } 的前 n 项和为 Bn , 求证 ： Bn < 1/2 。
解：
（1）由已知得 4Sn = （ an + 1）^2 , n ≥ 2 时，
例题2图（1）
作差得：
例题2图（2）
所以：
例题2图（3）
又因为 {an} 是正数数列，所以 an - an-1 = 2 , 即 {an} 是以公差为 2 的等差数列 ，
由 2✔S1 = a1 + 1 ， 得 a1 = 1 , 所以 an = 2n - 1 。
（2）
例题2图（4）
所以：
例题2图（5）
注：一般先分析数列的通项公式。
如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式。
② 先放缩再求和
例题3、已知各项均为正数的数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , 且满足关系式 (an)^2 + an = 2Sn 。
（1）求证：
例题3图（1）
（2）求证：
例题3图（2）
解：
（1）令 n = 1 , 则有 (a1)^2 + a1 = 2S1 = 2a1 , 因为 a1 > 0 , 所以 a1 = 1 。
又因为 (an)^2 + an = 2Sn ，有
例题3图（3）
上述两式相减，且 an+1 = Sn+1 - Sn 得
例题3图（4）
因为 an > 0 , 所以 an+1 - an = 1 所以 an = 1 + 1 × （n - 1）= n , Sn = n（n+1）/2 。
所以
例题3图（5）
（2）
因为
例题3图（6）
所以
例题3图（7）
所以
例题3图（8）
例题3图（9）
③ 裂项放缩
例题4、已知 n 是正整数，求证：
例题4图（1）
证明：
因为
例题4图（2）
所以
例题4图（3）
④ 公式放缩
例题5、已知函数
例题5图（1）
.证明：
例题5图（2）
证明：
因为
例题5图（3）
又因为 n 是正整数 且 n ≥ 3 ，所以只需证明 2^n > 2n + 1 ;
例题5图（4）
所以
例题5图（5）
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