基本图形分析法：面对圆周角的几何问题应该如何思考（七）

例13 如图4-32，已知：△ABC内接于⊙O，DE是⊙O的弦，且DE⊥BC垂足为H。分别以BD、BE为直径作半圆交AB于F、G。求证：GH：EB=GF：ED。

图4-32

分析：由条件BD是半圆的直径，所以就可以应用直径的性质或者也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明。由于∠DHB=90°，所以以BD为直径所作的半圆必经过点H。又因为F也是以BD为直径的半圆上的点，所以B、H、F、D四点共圆，于是就可应用圆周角的基本图形或者也就是圆内接四边形的性质进行证明，从而联结FH后，可得∠BDH=∠BFH（如图4-33）。根据同样的方法还可以证明B、E、H、G四点共圆，又因为B、G、A成一直线，出现了∠FGH是这个圆内接四边形的一个外角，所以又可得∠BEH=∠FGH。

图4-33

现在我们要证明的结论是GH：EB=GF：ED。对这个比例关系进行描图后，可以发现它们两两组成△HFG和△BDE，所以要证明上述比例关系，就转化为应证这两个三角形相似。而由前面的分析可以发现在这两个三角形中已经证明了两个角对应相等，即∠HFG=∠BDE和∠FGH=∠DEB，所以这两个三角形相似就可以证明。

例14 如图4-34，已知：△ABC内接于⊙O，在AB的延长线上取一点D，使AD=AC，在AC上取一点E，使AE=AB，过D、E的直线交⊙O于F、G。求证：AF·AG=AB·AC。

图4-34

分析：本题要证AF·AG=AB·AC，由条件A、F、C、G四点共圆，可应用圆周角的基本图形的性质进行证明，所以先联结CF（如图4-35），就可得∠AGF=∠ACF。而∠ACF又等于∠ACB+∠BCF。由A、B、F、C四点共圆，又可得其中的∠BCF=∠FAD。

图4-35

再由条件中给出AB=AE、AC=AD，且∠BAC和∠EAD可以看作是公共角，所以就可证明△ABC和△AED是一对轴对称型全等三角形，从而就可以证明∠ACB=∠D。

而由条件D、F、G成一直线，所以∠AFG就是△ADF的一个外角，应用三角形外角定理，就有∠AFG=∠D+∠FAD，从而可得∠ACF=∠ACB+∠BCF=∠D+∠FAD=∠AFG。这两个角相等一出现就可得到△AFE和△ACF是一对逆平行线型相似三角形，从而可得∠ACF=∠AFE的等价性质AF^2=AE·AC成立。而AE=AB，所以AF^2=AB·AC，将这个性质与结论比较可知问题应证AF=AG，它们就是两条具有公共端点A的相等线段，所以可组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，于是要证AF=AG，就可证明它的等价性质∠AFG=∠AGF成立。由于我们已证明这两个角都与∠ACF相等，所以分析可以完成。