基本图形分析法：面对圆周角的几何问题应该如何思考（三）

【分析方法导引】

在有关圆的问题中，如果不考虑有关线段之间的数量关系时，就应想到要应用与圆有关的角的基本图形进行证明。

当几何问题中出现了同一个圆上的四点时，就可以想到应用圆周角的基本图形进行证明。接下来就应分析问题中出现的所要研究和讨论的角是出现在圆内接四边形的内角或外角上，还是出现在同弧所对的圆周角上。若出现在圆内接四边形的内角或外角上，则添圆内接四边形的边而不必连对角线，然后应用对角的互补关系或外角与内对角的等量关系来完成证明。若出现在同弧所对的圆周角上，则添加两条对角线而不必添一组对边，然后应用同弧所对圆周角的等量关系完成分析。

当几何问题中出现了圆的直径和半圆上的一点或者出现了90°的圆周角时，就可想到要应用半圆上的圆周角的基本图形进行分析。如有直径和半圆上的点而没有圆周角时，应将半圆上的点与直径的两端点分别连接；如有90°的圆周角而没有直径时，应联结圆周角的两边与圆的交点，而这条连线必定过圆心，也就必定是圆的直径。接下来就可以应用直角三角形的性质完成分析。

当几何问题中出现了相交圆的问题时，就应想到要将问题转化到一个圆中的问题来进行分析和讨论，转化的方法是添加公共弦。接下来就可以分别在每一个圆中应用圆周角的基本图形的性质来完成分析。

例 5 如图4-9，已知：I是△ABC的内心，过I、B、C三点作⊙O。求证：A、B、O、C四点共圆。

分析：A、B、O、C四点共圆的证明，是一个圆内接四边形的判定问题，所以可应用圆周角的基本图形或者也就是圆内接四边形的性质进行证明。但已知图形中这个圆内接四边形尚不完整，所以应先将它添全，于是应联结OB、OC和OA（如图4-10）。但在联结OA时，可以发现现在有一个A、I、O三点共线的问题，所以可先联结OI，然后证明A、I、O成一直线，也就是要证明∠OIB+∠AIB=180°，进一步也就是要证∠OIB=∠ABI+∠BAI=1/2∠ABC+1/2∠BAC。但已知OI=OB，这是两条具有公共端点A的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，所以∠OIB=∠OBI=∠IBC+∠OBC=1/2∠B+∠α，从而只要证∠α=1/2∠BAC。由条件OI=OB=OC，△OIB、△OIC都是等腰三角形，于是∠BOI+2(∠α+1/2∠ABC)=180°,∠COI+2(∠α+1/2∠ACB)=180°，从而4∠α+∠ABC+∠ACB+∠BOI+∠COI=360°。但在△OBC中，有∠BOI+∠COI+2∠α=180°。所以∠ABC+∠ACB+2∠α=180°，于是2∠α=∠BAC，即∠α=1/2∠BAC，于是A、I、O共线，这样再进一步也就证明了A、B、O、C四点共圆。

例 6 如图4-11，已知：四边形ABCD内接于⊙O，过A作BD的垂线，垂足是E且交DC的延长线于G，过D作AC的垂线，垂足是F且交AB的延长线于H。求证：HG∥BC。

分析：本题要证的结论HG∥BC是两条平行线的判定问题，由于这两条要证明的平行线可以看作是被GD所截，所以问题就是要证∠DCB=∠DGH。

由条件中出现四边形ABCD内接于⊙O，所以就可应用圆内接四边形或者也就是圆周角的基本图形的性质进行证明，于是就有∠DCB+∠DAB=180°，从而题就转化成要证∠DGH+∠DAH=180°，也就进一步成为要证A、H、G、D四点共圆。

现在要证明A、H、G、D四点共圆，这又是一个圆内接四边形的判定问题，所以问题又可转化为证∠HAG=∠HDG，又因为条件中还给出AE⊥BD，DF⊥AC，所以∠HAG和∠HDG又分别是∠ABD和∠ACD的余角，于是要证明∠HAG=∠HDG，又可转化或证∠ABD=∠ACD，但这两个角也是同一条弧，即弧AD所对的圆周角，所以由条件A、B、C、D四点共圆就可以证明这一性质（如图4-12）。

如果在证明A、H、G、D四点共圆时，考虑转化为证∠AHD=∠AGD，那么这时由于∠AHD和∠AGD分别是∠BAC和∠BDC的余角，所以问题就是要证∠BAC=∠BDC，这样由A、B、C、D四点共圆，应用圆周角的基本图形性质也可完成分析。