基本图形分析法：详细分析直角三角形斜边的中线问题（二）

【分析方法导引】

当几何问题中出现了直角三角形斜边上的中点时，就应想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上。进一步的分析就是：若斜边上的中点是条件，则直接推得斜边上的中线等于斜边的一半，并可直接应用两等腰三角形推得角之间的等量关系。若斜边上的中点是要证明的结论，则应转而证明要证相等的这两条线段都和这条斜边上的中线相等，也就是转化为等腰三角形的判定问题或者也就是证明角相等的问题。进一步也就是应用线段相等与角相等之间的等价关系来完成分析。

当几何问题中出现了线段之间的倍半关系，且倍线段是直角三角形的斜边时，就应想到要应用直角三角形斜边上的基本图形进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上，得到这条斜边上的中线等于斜边的一半，和相应的角之间的等量关系和倍半关系，问题就转化成要证明问题中出现的倍半关系中的半线段与这条斜边上的中线相等。

当几何问题中出现了两个角之间的倍半关系，且其中的半角是一个直角三角形的锐角时，就可想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明。接下来的问题也是将斜边上的中线添上，然后可应用两个等腰三角形的顶角的外角等于底角的两倍的性质来完成分析。

例4 如图3-198，已知：△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是高，延长AB到E使BE=BD，ED的延长线交AC于F。求证:(1)AF=CF；(2)AB=DC-DB。

图3-198

分析：(1)本题要证明AF=CF，而已知∠ADC=90°，就出现了F是直角△ACD的斜边的中点，从而就要应用直角三角形斜边上的中线这个基本图形的性质进行证明(如图3-199)。这样要证明AF=CF，就应证明AF、CF都与DF相等，也就是要证明AF=CF的等价性质∠FDC=∠C成立。因∠FDC=∠BDE，所以问题就成为要证明∠BDE=∠C，而已知∠ABC=2∠C，则又应证∠ABC=2∠BDE。由条件BE=BD，这是两条具有公共端点B的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，且因为E、B、A成一直线，出现了这个等腰三角形的顶角的外角，所以应用等腰三角形的基本图形的性质就可证明∠ABC=2∠BDE。

图3-199

(2)现在要证的结论是AB等于DC和DB的差，所以可根据线段差的定义将DC-DB作出来，再证明所得的线段与AB相等，于是在DC上截取DG=DB，问题就成为应证GC=AB。而由所作的DG=DB和条件AD⊥BG，就出现了一边上的中线和高重合，即AD是BG的中垂线，从而就可以应用等腰三角形中重要线段的基本图形的性质进行证明。这时应用添加的方法是将等腰三角形的腰添上，也就是连结AG(如图3-200)，即可得AB=AG，这样问题就转化成为要证AG=CG。这是两条具有公共端点G的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，又因为B、G、C成一直线，出现了这个要证明的等腰三角形的顶角的外角，所以问题又可转化为证明AG=CG的等价性质∠AGB=2∠C。但已知∠ABC=2∠C，所以又应证∠AGB=∠ABC，而这两个角是等腰△ABG的两个底角，当然相等，所以分析可以完成。

图3-200

若在根据线段差的定义来进行分析时，考虑将线段差的关系转化为线段和的关系来进行讨论，那就可以先将结论变形为DC=AB+DB，然后就可将AB和DB这两条线段接起来。

如果首先考虑将AB接DB上，也就是延长DB到H，使得BH=BA(如图3-201)，那就要证明DH=DC。但由于BH和BA是两条具有公共端点B的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形的基本图形。但这个等腰三角形目前只有两条腰而没有底边，所以应先将底边添上，也就是连接AH(如图3-201)，又因为H、B、D成一直线，出现了这个等腰三角形顶角的外角，于是就可得∠ABC=2∠H。又因为已知∠ABC=2∠C，所以就得∠H=∠C，从而又可得△AHC也是等腰三角形，而AD是这个等腰三角形的底边上的高，所以DH=DC就可以证明。

图3-201

如果考虑将DB接到AB上，那么由已知BE=BD，可得DB接到AB上所得到的线段就是AE，问题就成为要证AE=DC。但这两条线段在图形中的位置不易建立它们之间的等量关系，所以应考虑将这两条线段改变位置，由于问题目前尚未直接出现与圆有关的关系，所以首先考虑将线段平移。

若将DC平行移动到与AE有公共的端点A，则所得的线段AG与DC应平行且相等，所以可构成一个平行四边形也就是可添加中心对称型全等三角形进行证明，于是在作图时可过A作DC的平行线交DF的延长线于G(如图3-202)，这样就可得△CDF≌△AGF，DC=AG。问题就转化成证AE=AG，而这是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，所以可转而证明AE=AG的等价性质∠E=∠G，但我们已经可证∠E=∠FDC，而由AG∥DC，又可得∠G=∠FDC，所以可完成证明。

图3-202

若将DC平行移动到与AE有公共的端点E，也就是过E作EG∥DC，且使EG=DC(如图3-203)，那么四边形EGCD应是平行四边形，但这个平行四边形尚缺少一条边GC(如图3-203)，所以应先连结GC，就可得GC∥ED，GC=ED。又因为在作出了EG=DC后，问题就转化为应证EA=EG，而这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形，但这个等腰三角形只有两腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连接AG并设交EF于H(如图3-203)。那么这个△EAG就应是等腰三角形。在这个三角形中，我们已证明∠AEF=∠FDC，而由EG∥DC，且可以看作被EF所截又可得∠FDC=∠FEG，所以∠AEF=∠GEF，EH是△EAG的一条角平分线。另一方面，我们已证F是AC的中点，FH∥CG，应用三角形中位线的基本图形的性质可得H是AG的中点，EH是△EAG的一条中线，所以应用等腰三角形中重要线段的基本图形的性质，也就是由EG/EA=GH/AH和GH=AH，就可以证明EA=EG。

图3-203

若考虑将EA平行移动到与DC有公共的端点D，则过D作DG∥EA，且使DG=EA(如图3-204)，那么四边形AEDG就是平行四边形，于是也应连接AG，应用平行四边形的性质就可得∠E=∠AGD，∠E=∠GDF。而我们已证∠E=∠C，所以∠AGD=∠C，就可得A、D、C、G四点共圆。又因为已知∠ADC=90°，且F是AC的中点，所以这个圆就是△ACD的外接圆，也就是以AC为直径的圆，而F就是这个圆的圆心，所以FG也是这个圆的半径，那么连接FG后，有FG=FD=FC，这样就出现了△FGD和△FCD是两个腰和底角都相等的等腰三角形，所以它们一定全等，从而也就可以证明DG=DC，分析就可以完成。

图3-204

在将EA平行移动到DG，也就是过D作DG∥EA，且使DG=EA后，问题就成为应证DG=DC。由于这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们应组成一个等腰三角形，而现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连结GC(如图3-205)。又因为DG∥EA，且可以看作是被EF所截，所以∠GDF=∠E，我们已证∠E=∠FDC，就可得∠GDF=∠CDF，FD就应是这个等腰三角形的顶角的角平分线，从而就可应用等腰三角形中重要线段的基本图形的性质进行证明，但现在这条角平分线DF尚未与CG相交，所以应将它们延长到相交，于是延长DF交CG于H(如图3-205)，由于DC=DG是要证明的结论，不能用，所以只能转而证明GH=CH和DH⊥CG中的一个性质，由于我们已经证明AF=CF，而连接AG后，由四边形AEDG是平行四边形可得AG∥ED，即AG∥FH，所以GH=CH可以证明，从而就又可进一步证明DG=DC。

图3-205

如果考虑∠AGD=∠E=∠C，可得A、D、C、G四点共圆，那么再由∠ADC=90°，可得∠AGC也等于90°，而AG∥DH，所以DH⊥CG可以证明，从而也可进一步证明DG=DC。

若考虑将EA平行移动到与DC有公共的端点C，则应过C作CG∥EA，且使CG=EA(如图3-206)，这样又可以应用中心对称型全等三角形进行证明，具体作图也可直接过C作CG∥EA交EF的延长线于G，也就可得△AEF≌△CGF，AE=CG，那么问题就成为要证CD=CG。现在这是两条具有公共端点的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，同题也就成为一个等腰三角形的判定问题，从而问题就转化成应证CD=CG的等价性质∠G=∠GDC。由于我们已经证明∠E=∠GDC，而由△AEF≌△CGF，又可得∠E=∠G，所以上述性质可以证明，分析也就可以完成。

图3-206