基本图形分析法：详细分析直角三角形斜边的中线问题（三）

【分析方法导引】

当几何问题中出现了直角三角形斜边上的中点时，就应想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上。进一步的分析就是：若斜边上的中点是条件，则直接推得斜边上的中线等于斜边的一半，并可直接应用两等腰三角形推得角之间的等量关系。若斜边上的中点是要证明的结论，则应转而证明要证相等的这两条线段都和这条斜边上的中线相等，也就是转化为等腰三角形的判定问题或者也就是证明角相等的问题。进一步也就是应用线段相等与角相等之间的等价关系来完成分析。

当几何问题中出现了线段之间的倍半关系，且倍线段是直角三角形的斜边时，就应想到要应用直角三角形斜边上的基本图形进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上，得到这条斜边上的中线等于斜边的一半，和相应的角之间的等量关系和倍半关系，问题就转化成要证明问题中出现的倍半关系中的半线段与这条斜边上的中线相等。

当几何问题中出现了两个角之间的倍半关系，且其中的半角是一个直角三角形的锐角时，就可想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明。接下来的问题也是将斜边上的中线添上，然后可应用两个等腰三角形的顶角的外角等于底角的两倍的性质来完成分析。

例5 如图3-207，已知:E、F是正方形ABCD的边AD的延长线上的两点，且DE=DC，DF=DB， BF分别交CD、CE于G、H。求证:GH=FH。

图3-207

分析:本题要证的结论是GH=FH，而条件中又给出∠ADC=90°，A、D、F成一直线，所以∠FDC也等于90°，这样就出现了H是直角△FGD的斜边GF的中点，从而就可应用直角三角形斜边上中线的基本图形的性质进行证明。现在图形中是有直角三角形而没有斜边上的中线，所以应将斜边上的中线添上，也就是连结DH(如图3-208)，这样要证明GH=FH，就应证明GH和FH都和DH相等，也就是要证GH=DH、FH=DH，进一步也就是要证∠HDG=∠HGD和∠F=∠HDF。

图3-208

若先考虑证∠HDG=∠HGD。由条件DF=DB，这是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，即△DBF(如图3-209)。又因为已知四边形 ABCD是正方形，所以DF∥BC，这样就出现了等腰三角形和平行线的组合关系，所以必定可以得到一条角平分线，也就是由DB=DF，得∠DBF=∠F，再由DF∥BC，且可以看作是被BF所截，得∠F=∠FBC，从而推得∠DBF=∠FBC。而由正方形的性质可得∠CBD=45°，所以就有∠DBF=∠FBC=45°/2。

图3-209

在得到了BF是∠CBD的角平分线以后，由于DE∥BC，且DE=DC=BC，所以四边形DBCE也是一个平行四边形，那就CE∥BD，这样又出现了一次角平分线和平行线的组合关系，从而一定可得到一个等腰三角形的基本图形，由于CE是角的一边BD的平行线，所以它一定和角的另一边BC以及角平分线BF相交构成等腰三角形，由此就可以找到这个三角形应是△CBH(如图3-210)，也就是由CE∥BD，得∠CHB=∠HBD和∠HBD=∠CBH，得∠CHB=∠CBH=45°/2，CH=CB。

图3-210

由条件四边形ABCD是正方形，CD=CB，所以CH=CD，这又是两条具有公共端点C的相等线段，它们又可以组成一个等腰三角形，而它的顶角∠HCD是等腰直角△DCE的一个底角应是45°，所以就有∠HDC=∠DHC=1/2(180°- 45°)=135°/2。而已证∠CHB=45°，所以∠DHG=∠DHC-∠BHC=(135°/2)-(45°/2)=45°， 那么在△HDG中应用三角形内角和定理就可得∠HGD=135°/2。所以∠HDG=∠HGD，GH=DH。再进一步由∠FDG=90°，应用等角的余角相等的定理就可得∠F=∠HDF，FH=DH，分析就可以完成。

例6 如图3-211，已知：△ABC中，AD是角平分线，BE⊥AD，垂足是E，EF∥CA交AB于F。求证：AF=BF。

图3-211

分析:本题要证明的结论是AF=BF，而已知∠AEB=90°，这样就出现了F是直角△ABE的斜边AB的中点，所以就可以应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明(如图3-212)。于是要证明AF=BF，就应证明AF、BF都与EF相等，由条件AD是角平分线，且EF∥CA，所以就出现了角平分线和平行线的组合关系，也就必定构成一个等腰三角形的基本图形，由于EF是角的一边CA的平行线，所以它应和角的另一边AB以及角平分线AD相交组成等腰三角形，即可找到这个三角形是△FAE(如图3-212)，于是由EF∥CA，且被EA所截， 可得∠FEA=∠CAD，又因为已知∠BAD=∠CAD，所以有∠FAE=∠FEA，AF=EF。再由∠AEB=90°，应用等角的余角相等就可证明∠FBE=∠FEB，BF=EF，分析就可以完成。

图3-212

如果考虑条件中出现的AD是角平分线和BE⊥AD，就出现了角平分线和向角平分线作的垂线之间的组合关系，从而也可构成一个等腰三角形的基本图形。由于角平分线AE的垂线BE尚未与角的边AC相交，所以延长BE交AC的延长线于G后(如图3-213)，就可得△ABE≌△AGE，BE=GE，那么再由EF∥GA，也就可证明AF=BF。

图3-213