八年级数学一次函数的应用

一、确定一次函数的表达式

1、确定正比例函数的表达式需要一个条件；

确定一次函数的表达式需要两个条件。

2、求一次函数的表达式主要步骤：

设出一次函数表达式 y = kx + b ( k ≠ 0 ) ，根据已知条件列出有关方程，解方程求出 k , b 的值，把求出的 k , b 的值带回表达式。

3、典型例题

① 已知直线 AB 过点 A（2,1）和点 B ，其中点 B 是另一条直线 y = x + 2 与 y 轴的交点。

（1）求直线 AB 的表达式；

（2）点 P 在直线 AB 上，是否存在点 P 使得 △BOP 的面积为 1 ，若存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标，

若不存在请说明理由。

解：

（1）根据题意得，A（2,1），B（0,2），

设直线 AB 的表达式为 y = kx + b ( k ≠ 0 ) , 则有 2 = b , 1 = 2k + b , 解得 k = -1/2 。

所以直线 AB 的表达式为 y = -1/2 x + 2 。

（2）设点 P 的坐标为 （a , -1/2 a + 2）,

则 S△BOP = 1/2 OB • ∣a∣ = 1/2 × 2 • ∣a∣ = ∣a∣

因为 S△BOP = 1 ，所以 ∣a∣ = 1 ，所以 a = 1 或 a = -1 。

所以点 P 的坐标为 （1 , 3/2） 或 （-1 ， 5/2）。

二、单个一次函数图像的应用

1、一次函数图像与坐标轴交点的求法：

一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 中，当 x = 0 时 ， y = b ，点 （0，b）就是函数图像与 y 轴的交点；

当 y = 0 时 ，x = -b/k , 点 （-b/k ，0）就是函数图像与 x 轴的交点。

2、一元一次方程与一次函数的关系：

从 “数” 的方面看，当一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的函数值为 0 时，相应的自变量的值就是方程 kx + b = 0 的解；

从 “形” 的方面看，一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的图像与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx + b = 0 的解 。

3、典型例题

① 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的图像如图所示，则一元一次方程 kx + b = 0 的解为 （C）。

A、x = 2 B、y = 2 C、x = -3 D、y = -3

图（1）

② 如图①所示，在同一条直线上，甲自点 A 开始追赶匀速前进的乙，图②表示两人之间的距离与所经过时间的函数关系，若乙的速度为 1.5 m/s ，则经过 40 s ，甲乙两人之间的距离为 （C）。

A、1.6 m B、1.7 m C、1.8 m D、1.9 m

图（2）

③ 一辆旅游车从甲地返回乙地，旅游车距乙地的路程 y (km) 与行驶时间 x (h) 的函数关系如图所示。

（1）求甲地与乙地相距多少 km ？

（2）求此函数的表达式，并求出自变量 x 的取值范围 。

图（3）

解：

（1）甲地与乙地相距 360 km 。

（2）由图可知，图像经过点 （1.5 ，240）和 （0 , 360），

设函数表达式为 y = kx + b ， 则 360 = b , 240 = 1.5 k + b ,

解得 k = -80 , b = 360 。所以 y = -80x + 360 。

当 y = 0 时， 则 0 = -80x + 360 ， 解得 x = 4.5 。

所以自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 4.5 。

三、两个一次函数图像的应用

在同一坐标系中，同时出现两个一次函数的图像，即两条直线，利用所给图像的位置关系，交点坐标，与 x 轴， y 轴的交点坐标，读取其中所要表达的信息，要理解交点坐标的含义。

在两个函数的图像中，哪个图像在上方，哪个函数图像对应的函数值就大 。

1、利用两个一次函数的图像解决实际问题：

如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图像，根据图像回答下列问题：

（1）在轮船和快艇中，快艇 的速度较大；

（2）当时间 0 < x < 4 时，快艇在轮船的后面；当时间 4 < x < 8 时，快艇在轮船的前面 。

（3）快艇出发 2 小时 赶上轮船 。

图（4）

2、看图像作决策：

某通讯公司推出 ①、② 两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，

且两种收费方式的通讯时间 x （分钟）与收费 y （元）之间的函数关系如图所示。

图（5）

（1）有月租的收费方式是 ① （填 ① 或 ②）， 月租费是 30 元 。

（2）收费方式 ① 中 ，y 与 x 之间的函数关系式为 y1 = 0.1x + 30 ；

收费方式 ② 中 ，y 与 x 之间的函数关系式为 y2 = 0.2x 。

（3）根据图像可知，当通话时间在 0 ≤ x < 300 分钟时，选择通话方式 ② 实惠；

当通话时间在 400 分钟时，应使用通话方式 ① 比较合算 。

3、典型例题

某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案：

方案1：没有底薪，只拿销售提成；

方案2：底薪加销售提成。

已知每件商品的销售提成方案2 比 方案1 少 7 元 ，设销售人员每月销售 x （件）商品时的月工资为 y （元），如图所示，

L1 表示方案 1 中 y 与 x 之间的函数图像，L2 表示方案 2 中 y 与 x 之间的函数图像 。

图（6）

（1）求 L1 所表示的函数关系式；

（2）求方案 2 中每月付给销售人员的底薪是多少元？

（3）当销售数量为多少时，两种工资方案所得到的工资数额相等？

解：

（1） L1 所表示的函数关系式为 y1 = 14x 。

（2）因为每件商品的销售提成方案2 比 方案1 少 7 元，所以 y2 = ( 14 - 7 ) x + b ,

把 （30 ， 560 ）代入得， 560 = 7 × 30 + b ，解得 b = 350 ，

所以方案 2 中每月付给销售人员的底薪是 350 元 。

（3）由题意得：方案1 每件的提成是 420 ÷ 30 = 14 （元），所以方案2 每件的提成是 14 - 7 = 7 （元）。

设销售 m 件时两种工资方案所得到的工资数额相等，由题意得， 14m = 350 + 7m , 解得 m = 50 。

当销售数量为 50 件时，两种工资方案所得到的工资数额相等。