中考数学，专题复习95：二次函数最值、存在性问题

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，

（1）求抛物线的解析式；

（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；

（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线是否存在点E（不与点A，B，C重合）使得∠DBE=45°？若不存在．请说明理由；若存在请求E点的坐标．

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；

（2）根据抛物线的解析式y=﹣x2+3x+4，令y=0求得点B的坐标为（4.0），设直线BC的解析式为y=kx+a

把点B、C的坐标代入直线BC的解析式为y=kx+a，解关于k、a的方程组求出k、a的值，所以直线BC的解析式为y=﹣x+4，设P点的坐标为（t，﹣t2+3t+4），则Q点的坐标为（t，﹣t+4），所以m=（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4），整理得m=﹣（t﹣2）2+4，根据关于m、t的二次函数即可求得．

（3）根据m的最大值是4，代入y=﹣x2+3x+4，可求得D点的坐标（3，4），过D点作DH⊥BC，过E点作EF⊥x轴，由OC=OB=4得△DCB为等腰直角三角形，从而得出△CDH为等腰直角三角形，通过等腰直角三角形求得CN、BH的值，然后根据三角形相似求得EF、BF的关系，设出E点的坐标，然后代入y=﹣x2+3x+4即可求得．