高中数学经典题型

一、突破求分段函数中的求参数问题。

已知实数a≠0，函数

若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为______.

解析：

首先讨论1-a,1+a与1的关系，当a<0时，1-a>1,1+a<1，所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.

因为f(1-a)=f(1+a)，所以-1-a=3a+2，即a=-3/4.

当a>0时，1-a<1,1+a>1，所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.

因为f(1-a)=f(1+a)，所以2-a=-3a-1，所以a=-3/2(舍去).

综上，满足条件的a=-3/4

【答案】 -3/4

揭示方法：

分段函数求值的关键在于判断所给自变量的取值是否符合所给分段函数中的哪一段定义区间，要不明确则要分类讨论.

二、突破函数解析式求法的方法

(1)已知f(x+1/x)=x?2;+1/x?2;求f(x)的解析式;

(2)已知f(2/x+1)=lgx,求f(x)的解析式;

(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式;

(4)已知f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x，求f(x)的解析式.

解析：

(1)令x+x/1=t，则t?2;=x?2;+1/x?2;+2≥4.

∴t≥2或∴f(t)=t?2;-2，即f(x)=x?2;-2(x≥2或x≤-2).

(2)令2/x+1=t，由于x>0，

∴t>1且x=2/(t-1)，

∴f(t)=lg{2/(t-1)}，即f(x)=lg{2/(x-1)}(x>1).

(3)设f(x)=kx+b，

∴3f(x+1)-2f(x-1)

=3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]

=kx+5k+b=2x+17.

t≤-2且x?2;+1/(x?2;)=t?2;-2，

揭示方法：

函数解析式的求法:

(1)凑配法，由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的解析式;

(2)特定系数法：若已知函数的类型(如一次函数，二次函数)，可用待定系数法。

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。

(4)方程思想：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。

2018高中数学解题思路

一:函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

二:数形结合思想

中学数学研究的对象可分为两大部分,一部分是数,一部分是形,但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”,又是优化解题途径的“良方”,因此我们在解答数学题时,能画图的尽量画出图形,以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

三:特殊与一般的思想

用这种思想解选择题有时特别有效,这是因为一个命题在普遍意义上成立时,在其特殊情况下也必然成立,根据这一点,我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此,用这种思想方法去探求主观题的求解策略,也同样精彩。

四:极限思想解题步骤

极限思想解决问题的一般步骤为:(1)对于所求的未知量,先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

五:分类讨论

常常会遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去,这是因为被研究的对象包含了多种情况,这就需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合归纳得解,这就是分类讨论。引起分类讨论的原因很多,数学概念本身具有多种情形,数学运算法则、某些定理、公式的限制,图形位置的不确定性,变化等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时,要做到标准统一,不重不漏。