基本图形分析法：教你如何利用重要线段解等腰三角形（二）

【分析方法导引】

当几何问题中出现了等腰三角形中的下列三种条件之一：顶角的角平分线；底边上的高；底边的中点或出现了一线端（将其看作是某三角形的一条边）上的高、中线或所对角的角平分线中的两条重合在一起时，就可以想到要应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。这时总共可出现六种可能情况，就按每一种情况分别讨论完成基本图形的添加。就下来就可以根据基本图形的四个基本性质所具有的两两等价性质完成分析。即在这四个基本性质中，只要有两个成立，就必定可以推得另外两个成立。在分析中一般的情况是，四个性质中有一个是要证明的结论，有一个是已经给出的条件，从而要证明结论成立，就应转而证明另外两个性质中的一个，只要其中的一个性质获证，那就可以根据两两等价性推得结论成立。由于在上述分析过程中要在两个性质中选择证明一个，所以必然也就出现了分析上的两种可能性。

例3 如图3-92，已知：平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB，垂足是E，F是AD的中点。求证：∠EFD=3∠AEF。

图3-92

分析：本题要证明的结论∠EFD=3∠AEF是两个角之间的三倍角关系，所以可根据角的三倍关系的定义，将大的角，即∠EFD三等分，然后证明其中的一个角与∠AEF相等。在具体等分时，可逐次进行。于是先作∠EFG=∠AEF且交EC于G（如图3-93），由于这两个角可以看作AB、FG被EF所截得到的一组内错角，所以就可得FG∥AB，而已知AB⊥EC，就可推得FG⊥EC。

图3-93

在得到了FG∥AB后，由条件AB∥DC和F是AD的中点，就出现了FG应是梯形AECD的中位线，于是就可由FG∥AB和AF=DF推得EG=CG，但我们已有FG⊥EC，这样就出现了一边EC上的高和中线重合的条件，所以就可应用等腰三角形中的重要线段的基本图形的性质进行证明。由于这个等腰三角形的一条腰尚未出现，所以应先将这条腰添上，也就是连接FC（如图3-94），即可得FE=FC，∠CFG=∠EFG。这样实际上我们已证明了∠EFC是∠AEF的两倍，所以接下来的问题就是要证明剩下来的这个角∠CFD也等于∠AEF。

图3-94

现在的问题实质上也就是要证∠CFD=∠CFG，也就是FC是∠DFG的角平分线。由于我们已经证明FG∥DC，所以在这里又出现了一次角平分线和平行线的组合关系，所以必定出现一个等腰三角形的基本图形，由于DC∥FG是角的一边的平行线，所以它应和角的另一边以及角平分线相交组成等腰三角形，于是就可找到这个等腰三角形应是△DFC（如图3-95）。而现在FC是∠DFG的角平分线是要证明的结论，所以就要先证明这个三角形是等腰三角形，也就是要证明DF=DC，由条件AD=2AB=2DC，且F是AD的中点，AD=2DF，所以DF=DC可以证明，分析也就能够完成。

图3-95

例4 如图3-96，已知：AB、CD是⊙O的直径，AB⊥CD，E是弧AD上的一点，F是OD上的一点，EF=EO，EF、EO的延长线交⊙O于G、H。求证：弧BG =3×弧BH。

图3-96

分析：本题要证明的是两条弧之间的倍数（数量）关系，解决弧之间的数量关系的基本方法是将问题转化成与圆有关的角之间的数量关系来讨论。

由于弧BH所对的圆心角是∠BOH，所以对弧BG也可以讨论相应的圆心角，而这个圆心角在图形中尚未出现，因此就应先将这个圆心角添上，也就是联结OG（如图3-97），这样问题就转化为要证明∠BOG=3∠BOH。

图3-97

在联结了OG后，由于OG和OE是同圆的两条半径，是两条具有公共端点O的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形。又因为E、O、H成一直线，出现了这个等腰三角形的顶角的外角，所以应用等腰三角形的基本图形的性质可得∠GOH=2∠OEF，由于这里出现了∠GOH，所以要证明的结论也可转化成∠GOH的关系式，也就是∠GOH=4∠BOH，比较这两个关系式，可知问题就转化为要证∠OEF=2∠BOH.这是两个角之间的倍半关系，所以可根据两个角的倍半关系的定义，将大的角两等分以后，证明它的一半和小的角相等。于是作∠OEF的平分线EM交OD于M（如图3-98），然后应证∠OEM=∠BOH。而在作了∠OEF的角平分线以后，由于条件中给出了EF=EO，所以就出现了等腰三角形的顶角的平分线，从而就可以应用等腰三角形中重要线段这个基本图形的性质进行证明，于是由EF=EO和EM平分∠OEF，即可推得EM⊥OD，而已知AB⊥CD，所以EM∥AB。而现在要证明相等的这两个角，即∠OEM和∠BOH是EM和AB这一组平行线被EH所截得到的一组同位角，当然相等，所以分析可以完成。

图3-98

本题由于条件给出AB、EH都是直径，所以∠AOE=∠BOH，弧AE=弧BH，所以问题也可转化为证弧BG=3×弧AE。由于弧AE所对的圆心角∠AOE已经出现，所以也应将弧BG所对的圆心角作出，于是联结OG，那么问题就转化为应证∠BOG=3∠AOE。

由条件A、O、B成一直线，∠BOG可以看成是一个三角形的外角，但图形中这个三角形尚不完整，所以应先将三角形添出，也就是延长CE交OA的延长线于K（如图3-99），即可得∠BOG=∠G+∠K。又因为已知EF=EO，且∠KOF=90°，所以OE就应是直角三角形KFO的斜边上的中线，于是就可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明。也就是由EF=EO，可得∠EFO=∠EOF，又因为∠KOF=90°，又可得∠K=∠EOA，EK=EO，∠FEO=2∠K。

图3-99

又因为OK和OE是⊙O的两条半径，它们可以组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质又可得∠G=∠GEO，从而就可得∠BOG=∠G+∠K=∠GEO+∠K=2∠K+∠K=3∠K=3∠AOE。