米勒问题和米勒定理

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，一般的米勒问题如下：

米勒问题：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，则当P在何处时，∠APB最大？

对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。

米勒定理：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。

证明：如图，设P′是边OM上不同于点P的任意一点，连结P′A，P′B，P′A与圆交于点C，连接CB，根据三角形外角的性质，可知∠ACB>∠AP′B，根据圆周角定理可知，∠APB=∠ACB，因此∠APB>∠AP′B，也就是当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。

在解题中的应用

最大张角问题在数学竞赛、历届中考和模拟考试中频频亮相，常常以平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。