如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A(﹣1,0)、B(3,0)、N(2,3)三点,且与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点M及点C的坐标;
(2)若直线y=kx+d经过C、M两点,且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形;
(3)点P是这个二次函数的对称轴上一动点,请探索:是否存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)根据题意将点A,B,N的坐标代入函数解析式,组成方程组即可求得;
(2)求得点C,M的坐标,可得直线CM的解析式,可求得点D的坐标,即可得到CD,AN,AD=2,CN=2,根据平行四边形的判定定理可得四边形CDAN是平行四边形;
(3)假设存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,因为这个二次函数的对称轴是直线x=1,故可设P(1,y0),则PA是圆的半径且PA2=y02+22,
过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切.
由第(2)小题易得:△MDE为等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,继而求得满足题意的点P存在,进而求出坐标.
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