中考数学，专题复习68：二次函数、几何动点相关综合题

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交直线BC于点N，求四边形MBNA的最大面积，并求出点M的坐标；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使△BCP为直角三角形？若存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）设交点式y=a（x﹣1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）如图1，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3，设M（x，x2﹣4x+3）（1＜x＜3），则N（x，﹣x+3），则MN=﹣x2+5x，利用三角形面积公式得到四边形MBNA的面积=AB•MN/2=2•（﹣x2+5x）/2，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）先判断△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，讨论：过B点作PB⊥BC交抛物线于P点，交y轴于Q点，如图2，则∠CBQ=90°，判断△OBQ为等腰直角三角形得到OQ=OB=3，则Q（0，﹣3），易得直线BQ的解析式为y=x﹣3，通过解方程组得到此时P点坐标；过C点作PC⊥BC交抛物线于P点，如图3，则∠PCB=90°，同样方法可得易此时P点坐标；当∠BPC=90°时，如图4，作PH⊥y轴于H，BF⊥PH于F，设P（t，t2﹣4t+3），易证得△CPH∽△PBF，利用相似比得到比例等式，于是通过约分整理得到t2﹣5t+5=0，然后解方程求出t即可得到此时P点坐标。