高考数学，典型例题分析：函数与方程的综合运用

如果函数y=f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数f（x）具有“P（a）性质”．

（1）判断函数y=cosx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；

（2）已知函数y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时，f（x）=（x+m）2，求函数y=f（x）在区间[0，1]上的值域；

（3）已知函数y=g（x）既具有“P（0）性质”，又具有“P（2）性质”，且当﹣1≤x≤1时，g（x）=|x|，若函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值．

解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，

则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，

∵cos（x+2kπ）=cosx，

∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，

且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．

（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，

所以f（x）=f（﹣x）恒成立，

∴y=f（x）是偶函数．

设0≤x≤1，则﹣x≤0，

∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2．

①当m≤0时，

函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]．

②当0＜m＜1/2时，

函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，

ymin=f（m）=0，ymax=f（1）=（1－m）2，值域为[0，（1﹣m）2]．

③当1/2≤m≤1时，ymin=f（m）=0，ymax=f（0）=m2，值域为[0，m2]．

④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]．

（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），

∴函数y=g（x）偶函数，

又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g（x），

∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．

考点分析：

函数与方程的综合运用．

题干分析：

（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；

（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；

（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．