基本图形分析法专题——平行线型相似三角形（二）

基本图形分析法就是：将一个几何问题的图形，分解、剖析成一个或若干个基本图形，当基本图形不完整时，通过添加辅助线将不完整的基本图形补完整，然后应用基本图形的性质，使问题得到解决的几何分析方法。

例2，已知：△ABC中，AD是∠BAC的角平分线。求证： BD/CD=AB/AC

分析1：本题要证明的结论BD/CD=AB/AC，是线段之间的比例关系，所以首先应进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，

经过描图可以发现BD和CD这两条相比线段现在重叠在一直线上，所以可应用或添加平行线型相似三角形进行证明，

现在重叠的相比线段的两个端点是B、C，内分点是D，图形中过B、C、D的线段分别是BA、CA、DA，所以选取平行方向线段就出现了三种可能性，

如取BA为平行方向线段，则平行线可过内分点D作，也可以过另一个端点C作，若首先选取过内分点D作平行线，则过D作DE∥BA交AC于E，就可得△CDE和△CBA是由三角形内一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形，所以BD/CD=AE/CE，

所以BD/CD=AE/CE=ED/EC，而要证明的结论是BD/CD=AE/AC，所以问题转化为要证ED/EC=AB/AC，

这是一个新的比例关系式，所以也应先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现EC和AC这两条相比线段现在重叠在一直线上，所以可应用平行线型相似三角形进行证明，由于已经作出DE∥AB，且已经证明△CDE和△CBA相似，就可得ED/EC=AB/AC，所以BD/CD=AB/AC就可以证明。

分析2：如取BA为平行方向线段后，选取过端点C作平行线，则过C作CE∥AB交AD的延长线于E，

就可得△CDE和△BDA是由三角形外一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形，所以BD/CD=AB/EC，

由于条件中还给出AD是角平分线，而CE∥AB，就出现了角平分线和平行线的组合关系，所以必定可以构成一个等腰三角形的基本图形，由于CE是角的一边BA的平行线，所以它应该和角的另一边以及角平分线相交构成等腰三角形，于是由∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠CEA，可得∠CAE=∠CEA，所以AC=EC，从而就可证明BD/CD=AB/AC。

分析3：如取DA为平行方向线段，

则平行线可过端点C或B作，于是过C作CE∥DA交BA的延长线于E，就可得△BAD和△BEC是由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形，所以BD/CD=BA/EA，

由于条件中还给出AD是角平分线，而CE∥DA，就出现了角平分线和平行线的组合关系，所以必定可以构成一个等腰三角形的基本图形，由于CE是角平分线的平行线，所以它应该和角的一边以及另一边的反向延长线相交构成等腰三角形，

于是由∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠AEC，∠CAD=∠ACE，可得∠ACE=∠AEC，所以AE=AC，从而就可证明BD/CD=AB/AC。