圆在几何中的地位举足轻重，中考试卷中经常和其他知识结合以压轴题的形式出现，因此，学好圆的知识是冲刺中考的前提和基础，我在这里将圆这部分知识以及重点题型做全面系统梳理。
一.圆的定义
1.圆的描述性定义：在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，OA线段叫做半径，以点O为圆心的圆叫做⊙O
2.圆的集合性定义：圆心为O，半径为r的圆可以看做所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。
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3.解题方法：确定一个圆的两个要素是圆心和半径，其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
4.弦：连接圆上任意两点的线段。如AB、AC
5.直径：经过圆心的弦。如AB
6.弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.如AC弧
7.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。
注意：弧与弦是有区别的，弧是曲线，弦是线段；直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。如：AB是直径、也是弦，而AC是先、不是直径。
例题1.判断下列句子的对错：
①等于半径两倍的线段是直径。
解：这句话有错误，必须是圆的弦时为前提，等于半径两倍的线段才是直径。
②半圆是弧，弧是半圆。
解：这句话有错误，半圆是圆中的特殊弧；应改成半圆是弧，弧不一定是半圆。
③以P为圆心，以半径为r的圆有无数个。
解：这句话有错误，以P为圆心，以半径为r的圆只有一个。
二.垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
注意：因为对称轴是一条直线，因此不能说任何一条直线是对称轴，圆有无数条对称轴，
画对称轴的技巧：过圆心的直线。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：①定理中的证明是利用圆的轴对称的性质证明的。
②定理中的直径应理解为过圆心的直线（或线段）。
③等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
3.垂径定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
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注意：⑴推论中平分的弦不能是直径，因为两条直径总是互相平分的，但不一定互相垂直。
⑵垂径定理及推论可以理解为垂径定理的条件和结论可分为五个事项：①CD是直径（过圆心O) ②CD垂直AB ③AE=BE ④ AD弧等于BD弧 ⑤ AC弧等于BC弧.
若其中两个事项成立，则其余三个事项也成立。
例2.⊙O的直径为50㎝，弦AB∥CD，且AB=40㎝，CD=48㎝，求弦AB和弦CD之间的距离。
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解：当弦AB与CD在圆心的同侧时，如左图
作OG⊥AB于G，交CD与E，连接OB、OD
∵AB∥CD
∴OE⊥CD
∴EG为AB、CD之间的距离
∴BG=1/2 AB=1/2×40=20㎝
DE=1/2 CD=1/2×48=24㎝
在直角三角形DEO中，OE²=OD²-DE²=25²-24²=49，即OE=7㎝
在直角三角形BGO中，OG²=OB²-BG²=25²-20²=225，即OG=15㎝
∴EG=OG-OE=15-7=8㎝
解：当弦AB与CD在圆心的异侧时，如右图
作OG⊥AB于G，延长GO交CD与E，连接OB、OD
∵AB∥CD
∴OE⊥CD
∴EG为AB、CD之间的距离
∴BG=1/2 AB=1/2×40=20㎝
DE=1/2 CD=1/2×48=24㎝
在直角三角形DEO中，OE²=OD²-DE²=25²-24²=49，即OE=7㎝
在直角三角形BGO中，OG²=OB²-BG²=25²-20²=225，即OG=15㎝
∴EG=OG+OE=15+7=22㎝
综上所述，弦AB和CD之间的距离为22㎝和8㎝.
解题技巧：
①作半径构成三角形，把圆中的问题转化为三角形三边关系问题。
②作圆的半径，是圆的几何题在成见的辅助线作法。
③通过作弦心距（过圆心作弦的垂线段）构造三角形，是圆的几何题在成见的辅助线作法。
④ 在解决有关弦的问题时，常作垂直于弦的直径（过圆心作垂线段），应用垂径定理求解。
⑤ 连接圆心与中点，证明垂直，是圆的几何题在成见的辅助线作法。根据垂径定理的推论求解。
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