高考数学压轴突破140 攻克直线与圆的方程的九大易错点

易错点1 忽略90°倾斜角的特殊情形

【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．

本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论．

易错点击

1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.

2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y=tan x的单调性求斜率k的范围．

3．直线的倾斜角与斜率的关系

（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线的倾斜角为，但斜率不存在．

（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

易错点2 忽略斜率不存在的特殊情形

易错点击

1．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解．

2．求直线方程的方法

（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程；

（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．

3．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.

4．已知三点A,B,C若直线AB,AC的斜率相同，则A,B,C三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.

易错点3 忽视两条直线平行的条件

【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．

易错点击

1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．

2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.

“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.

特别提醒

（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；

（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．

易错点4 忽视截距为0的情形

【思路分析】截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．

易错点击

1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．

2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

特别提醒

截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．

易错点5 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误

易错点击

1．两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.

2．求过两直线交点的直线方程的求法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.

易错点6 忽视圆的方程需要满足的条件致错

易错点击

1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．

2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．

3．与圆有关的对称问题

（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．

（2）圆关于点对称：

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；

②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．

（3）圆关于直线对称：

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；

②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．

4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．

易错点7 利用数形结合的解题误区

易错点击

1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：

（1）明确圆心C的坐标（a，b）和半径长r，将直线方程化为一般式；

（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；

（3）比较d与r的大小，写出结论.

特别提醒

判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法.

易错点8 不理解两圆相切

易错点击

求两圆公共弦长一般有两种方法：

一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；

二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.

易错点9 求切线时考虑不全致错

特别提醒

求解此类问题时，应先判断点是在圆上还是在圆外，在圆上时切线方程唯一，在圆外时切线方程必有两条．

易错点击