已知函数f（x）=lnx+a/x（a＞0）．

（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ） 证明：当a≥2/e，b＞1时，f（lnb）＞1/b．

解：（Ⅰ）法1：函数f（x）=lnx+a/x的定义域为（0，+∞）．

由f（x）=lnx+a/x，得f'（x）=1/x-a/x2=(x-a)/x2．…

因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．

所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…

当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…

当lna+1≤0，即0＜a≤1/e时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…

所以实数a的取值范围为（0，1/e]．…

法2：函数f（x）=lnx+a/x的定义域为（0，+∞）．

由f（x）=lnx+a/x=0，得a=﹣xlnx．…

令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．

当x∈（0，1/e）时，g'（x）＞0； 当x∈（1/e,+∞）时，g'（x）＜0．

所以函数g（x）在（0，1/e）上单调递增，在（1/e,+∞）上单调递减．…

故x=1/e时，函数g（x）取得最大值g(1/e)=-1/e·ln(1/e)=1/e．…

因而函数f（x）=lnx+a/x有零点，则0＜a≤1/e．…

所以实数a的取值范围为（0，1/e]．…

（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．

当0＜x＜1/e时，h'（x）＜0；当x＞1/e时，h'（x）＞0．

所以函数h（x）在（0，1/e）上单调递减，在（1/e,+∞）上单调递增．

当x=1/e时，[h(x)]min=-1/e+a．…

于是，当a≥2/e时，h(x)≥-1/e+a≥1/e．①…

令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．

所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．

当x=1时，[Ф(x)]max=1/e．…

于是，当x＞0时，Ф(x)≤1/e．②…

显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．

故当x＞0，a≥2/e时，xlnx+a＞xe﹣x．…

因为b＞1，所以lnb＞0．

所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…

所以ln（lnb）+a/lnb＞1/b，即f（lnb）＞1/b．…


考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

题干分析：

（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；

法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；

（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．