高考数学压轴题解题策略讲解：如何解导数综合问题

已知函数f（x）=x2/2，g（x）=alnx．

（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；

（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有[h(x1)-h(x2)]/(x1-x2)

＞2恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+1/f′（x0）＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．

考点分析：

利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

题干分析：

（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；

（2）由题意可得即为[h(x1)-2x1-(h(x2)-2x2)]/(x1-x2)＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；

（3）原不等式等价于x0+1/x0＜alnx0﹣a/x0，整理得x0﹣alnx0+（1+a）/x0＜0，设m（x）=x﹣alnx+（1+a）/x，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（(e2+1)/(e-1)，+∞）．