**二次函数图象与性质综合测试**

一、选择题（每题3分，共18分）

1. 下列哪个解析式的图象开口向下？

   A. y = 2x^2       B. y = -3x^2       C. y = 4(x+1)^2     D. y = 5(x-2)^2 + 3

答案：B

2. 对于解析式y = ax^2 + bx + c，以下哪个表达式给出了抛物线的对称轴？

   A. x = a          B. x = b           C. x = -b/2a        D. x = c

答案：C

3. 当h>0, k<0时，如何从y=ax^2得到y=a(x-h)^2+k的图象？

   A. 向右移动h个单位，向上移动k个单位

   B. 向右移动h个单位，向下移动|k|个单位

   C. 向左移动h个单位，向上移动k个单位

   D. 向左移动h个单位，向下移动|k|个单位

答案：B

4. 抛物线y=ax^2+bx+c与y轴的交点坐标是什么？

   A. (0, a)         B. (0, b)          C. (0, c)           D. (0, -c)

答案：C

5. 如果a>0，那么抛物线y=ax^2+bx+c在何处取得最小值？

   A. x=b/2a        B. x=-b/2a        C. x=0              D. x=c/a

答案：B

6. 当题给条件为已知图象的顶点坐标时，应设解析式为哪种形式？

   A. 一般形式：y=ax^2+bx+c

   B. 顶点式：y=a(x-h)^2+k

   C. 两根式：y=a(x-x_1)(x-x_2)

   D. 任意形式

答案：B

二、填空题（每题4分，共16分）

7. 若抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-3, 5)，则a, b, c的关系是______。

答案：b=6a, c=5-9a

8. 当抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有两个交点时，判别式Δ______0。

答案：Δ>0

9. 抛物线y=2(x+1)^2-3的对称轴是______。

答案：x=-1

10. 若二次函数y=x^2-4x+3的图象与x轴的一个交点是(3, 0)，则另一个交点坐标为______。

答案：(-1, 0)

三、解答题（每题8分，共32分）

11. 解析式y=3(x-2)^2+4的顶点坐标和对称轴是什么？并说明图象如何由y=3x^2平移得到。

答案：顶点坐标是(2, 4)，对称轴是x=2。图象是由y=3x^2先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到。

12. 求抛物线y=x^2-6x+5的最值，并写出取得最值时的x值。

答案：最值是y=-4，当x=3时取得这个最小值。

13. 设抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的一个交点是(2, 0)，且顶点在第四象限，求a, b, c的符号关系。

答案：a>0, b<0, c<0。因为a>0，所以开口向上；顶点在第四象限，所以-b/2a>0，即b<0；又因为过点(2, 0)，所以4a+2b+c=0，所以c<0。

14. 一个二次函数的图象经过点(1, 3)，顶点坐标为(-2, -1)，求该二次函数的解析式。

答案：设解析式为y=a(x+2)^2-1，代入点(1, 3)得3=a(1+2)^2-1，解得a=2/3，故解析式为y=2/3(x+2)^2-1。

四、应用题（每题10分，共20分）

15. 已知抛物线y=-2(x-1)^2+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。求AB的距离和点C的坐标。

答案：令y=0，解得x=1±√3/2，所以A、B两点坐标分别是(1-√3/2, 0)和(1+√3/2, 0)，AB=|1+√3/2-(1-√3/2)|=√3。令x=0，得y=3，所以点C的坐标是(0, 3)。

16. 一辆汽车的刹车过程可以看作是匀减速直线运动，其位移s与时间t的关系满足s=-5t^2+30t，求汽车停下来前的最远距离以及停止时的时间。

答案：位移s是关于时间t的二次函数，由s=-5t^2+30t=-5(t^2-6t)=5(6-t)^2-30，可知当t=3时，s取得最大值，即最远距离为s_max=5(6-3)^2-30=45米。汽车停止时，s=0，解得t=0（初始时刻）或t=6，所以停止时间为6秒。

五、附加题（10分）

17. 给定二次函数y=ax^2+bx+c，其中a>0，若图象经过点P(1, 4)，且顶点的横坐标为2，求函数解析式。

答案：由顶点横坐标为2，得-b/2a=2，即b=-4a。又因为图象经过点P(1, 4)，代入得4=a+b+c，将b=-4a代入得4=a-4a+c，解得c=5a。所以解析式为y=a(x^2-4x+5)，其中a>0。