**二次函数及其性质真题测试**

**一、选择题**

1. 下列哪个不是二次函数的一般形式？

   A. y = ax^2 + bx + c

   B. y = (x - h)^2 + k

   C. y = a(x - x1)(x - x2)

   D. y = x^3 + 2x^2 - 3

**答案**: D

2. 当二次函数y = ax^2 + bx + c中的a为何值时，抛物线开口向下？

   A. a > 0

   B. a < 0

   C. a = 0

   D. a ≠ 0

**答案**: B

3. 抛物线y = ax^2 + bx + c的对称轴方程是什么？

   A. x = b

   B. x = -b/a

   C. x = c/a

   D. x = a/b

**答案**: B

4. 若二次函数y = ax^2 + bx + c与x轴有两个交点，那么Δ（b^2 - 4ac）应满足什么条件？

   A. Δ > 0

   B. Δ = 0

   C. Δ < 0

   D. 无法确定

**答案**: A

5. 对于抛物线y = ax^2 + bx + c，当a与b同号时，其对称轴位于何处？

   A. y轴左侧

   B. y轴右侧

   C. y轴上

   D. 无法确定

**答案**: A

**二、填空题**

6. 二次函数的图像是一条_________。

   

**答案**: 抛物线

7. 抛物线y = (x - 3)^2 + 2的顶点坐标是_______。

**答案**: (3, 2)

8. 当b^2 - 4ac = 0时，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解是什么？

**答案**: 有一个实数解，x = -b/2a

9. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与y轴的交点坐标是_______。

**答案**: (0, c)

10. 如果一个二次函数的开口向下，且开口较大，那么a的值应该满足什么条件？

**答案**: a < 0且|a|较大

**三、简答题**

11. 描述二次函数y = ax^2 + bx + c的图像特点，并解释a、b、c如何影响图像的形状和位置。

**答案**: 

二次函数的图像是一条抛物线。a决定了开口方向和大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下，|a|越大开口越小。b决定了对称轴的位置，对称轴为x=-b/2a，b与a同号时对称轴在y轴左，异号时在右。c决定图像与y轴的交点，交点在(0, c)。

12. 解释当Δ = b^2 - 4ac < 0时，二次函数的图像与x轴的交点情况。

**答案**: 当Δ < 0时，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0没有实数解，因此对应的二次函数图像不与x轴相交，而是全部位于x轴上方或下方。

13. 为什么说二次函数y = ax^2 + bx + c可以转化为一元二次方程？

**答案**: 当y = 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c变为一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其解对应了抛物线与x轴的交点。

**四、计算题**

14. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 1，求其对称轴的方程。

**答案**: x = -(-4)/(2*2) = 1，所以对称轴是x = 1。

15. 求解二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0的根。

**答案**: 使用求根公式x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，得到x1, x2 = [-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))] / (2*2) = [1, -3/2]。

**五、应用题**

16. 设抛物线y = 3(x - 2)^2 + 4与x轴的两个交点分别为A和B，求这两个点的坐标。

**答案**: 令y = 0，解得x = 2 ± √(4/3)，所以A(-2/3, 0)，B(4/3, 0)。

17. 已知二次函数y = -x^2 + 4x - 3，判断该函数图像是否经过原点，并说明理由。

**答案**: 将(0, 0)代入函数，得到y = -3 ≠ 0，所以图像不经过原点。

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**参考答案**

选择题：1. D  2. B  3. B  4. A  5. A

填空题：6. 抛物线  7. (3, 2)  8. x = -b/2a  9. (0, c)  10. a < 0且|a|较大

简答题：11. 见上述答案  12. 见上述答案  13. 见上述答案

计算题：14. x = 1  15. x1 = 1, x2 = -3/2

应用题：16. A(-2/3, 0)，B(4/3, 0)  17. 不经过，因为y = -3 ≠ 0。