**二次函数与一元二次方程综合测试**

**一、选择题**

1. 当二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，下列哪个结论是正确的？

   A. a>0且Δ=b^2-4ac>0

   B. a<0且Δ=b^2-4ac>0

   C. a>0且Δ=b^2-4ac=0

   D. a<0且Δ=b^2-4ac<0

**答案**：A

2. 对于抛物线y=ax^2+bx+c，其顶点坐标是（-b/2a, [4ac-b^2]/4a），当a>0时，顶点位于何处？

   A. x轴上方

   B. x轴下方

   C. y轴左侧

   D. y轴右侧

**答案**：A

3. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是？

   A. (0, a)

   B. (0, b)

   C. (0, c)

   D. (0, -c)

**答案**：C

**二、填空题**

4. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=2，那么a的符号是______。

**答案**：a<0

5. 一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根x₁和x₂满足______。

**答案**：x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a

**三、解答题**

6. 已知二次函数y=x^2-4x+3的图象与x轴交于A、B两点，求这两点的坐标，并计算它们之间的距离。

**答案**：

解：令y=0，得x^2-4x+3=0，解这个方程得x₁=1, x₂=3。

所以，A(1,0)和B(3,0)。两点之间的距离AB=|x₂-x₁|=|3-1|=2。

7. 设二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-2, 4)，且过点(1, -3)，求函数的解析式。

**答案**：

由顶点坐标(-2, 4)可知，顶点式为y=a(x+2)^2+4。代入点(1, -3)，

得-3=a(1+2)^2+4，解得a=-1。

所以，解析式为y=-(x+2)^2+4，即y=-x^2-4x。

8. 解一元二次方程2x^2-5x+3=0，并说明其对应的二次函数图象与x轴的交点情况。

**答案**：

解方程2x^2-5x+3=0，使用因式分解法得(x-1)(2x-3)=0，解得x₁=1, x₂=3/2。

因此，图象与x轴有两个交点，分别在x=1和x=3/2处。

**四、综合题**

9. 一个二次函数的图象经过点(1, 4)，顶点坐标为(2, 1)，求该函数的解析式，并描述其图象特征。

**答案**：

设解析式为顶点式y=a(x-2)^2+1，代入点(1, 4)，

得4=a(1-2)^2+1，解得a=3。

所以，解析式为y=3(x-2)^2+1，图象开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2, 1)。

10. 请构造一道涉及二次函数与实际问题的应用题，并提供解题步骤。

**答案**：

问题：一个抛物形桥的最高点距离水面5米，桥的跨度为10米，模型可以表示为抛物线y=ax^2+h，求桥的函数解析式。

解题步骤：

1. 根据题意，最高点即为顶点，坐标为(5,5)。

2. 代入顶点坐标到y=ax^2+h中，得5=a*5^2+h，解得h=5。

3. 所以，解析式为y=a(x-5)^2+5。

4. 因为桥在x轴上的两个点满足y=0，即a(x-5)^2+5=0，解得x₁=0, x₂=10。

5. 确定a的值，代入任意一个x值，如x=0，y=0，得到a=-1/5。

6. 最终解析式为y=-1/5(x-5)^2+5，描述桥的形状和位置。

**五、附加题**

请解释为什么二次函数的图象与x轴的交点个数决定了对应一元二次方程的根的情况。

**答案**：

二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点个数取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。当Δ>0时，方程有两个不等实根，即函数与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有一个重根，函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，方程无实根，函数与x轴无交点。这体现了函数图象与方程根的直接关系。