**数学试卷**

**一、填空题**

1. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1 = 3，则a4 = ________。

答案：24

2. 判断：给定数列an = 2^(n-1)，此数列是否为等比数列？________（填“是”或“否”）。

答案：是

**二、选择题**

3. 下列哪个条件不能确保数列{an}是等比数列？

   A. an+1 = qan (q为非零常数)

   B. an/an-1 = q (q为非零常数且n ≥ 2)

   C. 存在数列中的某一项an = 0

   D. 数列的通项公式可写为an = c * q^n (c, q均为非零常数)

答案：C

4. 当q = 1时，等比数列的前n项和Sn的公式是_______。

   A. Sn = na1

   B. Sn = a1 / (1 - q)

   C. Sn = a1 * q^(n-1)

   D. Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

答案：A

**三、计算题**

5. 推导等比数列的前n项和Sn，当首项a1 = 2，公比q = 3，求n = 5时的Sn。

答案：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 98

6. 判断数列1, 3, 9, 27...是否为等比数列，并用中项公式法证明你的结论。

答案：是。中项公式法：a2^2 = a1 * a3，即3^2 = 1 * 9，满足等比数列条件。

**四、解答题**

7. 分类讨论：对于等比数列{an}，当公比q = 1和q ≠ 1时，其前n项和Sn有何不同？

答案：

- 当q = 1时，Sn = na1，因为每一项都相同，所以直接累加n个相同项即可。

- 当q ≠ 1时，Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，这是利用错位相减法得到的公式。

8. 证明数列an = (-1)^(n-1) * n^2是一个等比数列。

答案：

我们可以观察到an+1/an = (-1)^n * (n+1)^2 / [(-1)^(n-1) * n^2] = -(n+1)/n = -1，这是一个非零常数，因此数列{an}是等比数列。

**五、综合应用题**

9. 已知等比数列{an}，a1 = 4，an = 64，q = 2，求n。

答案：

由an = a1 * q^(n-1)，我们有64 = 4 * 2^(n-1)，解得n = 5。

**六、附加题**

10. 在实际问题中，如何应用等比数列的前n项和公式解决实际问题？请举例说明。

答案：

例如，在金融领域，如果一笔存款以固定的利率r每年复利一次，初始本金为P，那么n年后的本息总和S可以看作是等比数列的前n项和，即S = P * (1 + r)^n。这在计算复利增长问题时非常有用。