**函数奇偶性与复合函数问题综合测试**

**一、选择题**

1. 下列哪个函数是偶函数？

   A. f(x) = x^2 + x

   B. f(x) = |x|

   C. f(x) = x^3 - x

   D. f(x) = x^4 - x^2

**答案：B. f(x) = |x|**

2. 若f(x)是奇函数，且在定义域内f(x)≠0，以下哪个等式一定成立？

   A. f(x) = f(-x)

   B. f(x) + f(-x) = 0

   C. f(x) - f(-x) = 0

   D. f(x) * f(-x) = 0

**答案：B. f(x) + f(-x) = 0**

3. 已知奇函数f(x)在单调区间[-a, a]上单调递增，那么f(x)在[-a, 0]上的单调性如何？

   A. 单调递增

   B. 单调递减

   C. 非单调

   D. 无法确定

**答案：A. 单调递增**

**二、填空题**

4. 如果函数f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2，那么f(-x) = ________.

**答案：f(-x) = -x^3 + 2x^2 + x - 2**

5. 设函数g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)，若g(x)是偶函数，那么g(0) = ________.

**答案：g(0) = 4**

**三、解答题**

6. 判断函数h(x) = 3x^3 - 2x^2 + x + 1的奇偶性，并给出证明。

**答案：**

h(x) 不是奇函数也不是偶函数。因为对于偶函数，需要满足f(x) = f(-x)，但我们可以验证：

h(-x) = 3(-x)^3 - 2(-x)^2 + (-x) + 1 = -3x^3 - 2x^2 - x + 1

这显然不等于h(x)，因此h(x)不是偶函数。

对于奇函数，需要满足f(x) = -f(-x)，同样验证：

h(-x) ≠ -h(x)

所以h(x)也不是奇函数。

7. 已知复合函数f(g(x))的定义域为[-3, 3]，其中f(x) = √(x+1)，求g(x)的值域。

**答案：**

由于f(x) = √(x+1)的定义域为x+1 ≥ 0，即x ≥ -1，所以对于复合函数f(g(x))，有-1 ≤ g(x) ≤ 3。

因此，g(x)的值域为[-1, 3]。

8. 证明函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的图像关于原点对称。

**答案：**

假设图像上任意一点P(x, y)关于原点的对称点为P'(x', y')，则有

x' = -x, y' = -y

代入函数y = x^3 - 3x^2 + 2x得：

-y = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2(-x)

化简得：y = x^3 + 3x^2 - 2x

这表明P'(x', y')也在原函数的图像上，因此原函数图像关于原点对称。

9. 求函数y = 2x^2 - 3x + 1关于直线x = 2的对称函数。

**答案：**

设新函数为y' = f(2 - (x - 2))，即y' = f(4 - x)

代入原函数得：y' = 2(4 - x)^2 - 3(4 - x) + 1

化简得：y' = 2x^2 - 5x + 5

所以，关于直线x = 2对称的函数是y' = 2x^2 - 5x + 5。

10. 已知f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = √x，求复合函数f(g(x))的定义域，并判断其单调性。

**答案：**

f(g(x)) = (√x)^2 + 2√x + 1 = x + 2√x + 1

要使该复合函数有意义，根号下的值必须大于等于0，即x ≥ 0，所以定义域为[0, +∞)。

对于单调性，由于f(g(x)) = x + 2√x + 1在[0, +∞)上都是连续的，我们可以通过求导来判断：

(f(g(x)))' = 1 + 1/(√x) > 0 对于所有x > 0

因此，f(g(x))在[0, +∞)上单调递增。

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**四、附加题**

11. 证明函数y = e^x和y = e^(-x)的图像关于y轴对称。

**答案：**

对于任意x，有e^(-x) = 1/e^x，而e^x关于y轴的对称点为-e^x，所以e^(-(-x)) = e^x。

因此，y = e^x关于y轴的对称函数为y = e^(-x)，两个函数的图像关于y轴对称。