向量的向量积专项测试

**向量的向量积专项测试**

**一、选择题**

1. 下列哪个描述是向量的向量积（外积、叉积）的定义？

   A. 向量的标量乘积，结果是一个标量。

   B. 两个向量的乘积，结果是一个向量。

   C. 向量的点乘，结果是一个标量。

   D. 向量的除法，结果是一个向量或标量。

2. 当向量a和b不共线时，向量积a×b的模长是多少？

   A. |a| * |b| * cos〈a, b〉

   B. |a| * |b| * sin〈a, b〉

   C. |a| - |b| * sin〈a, b〉

   D. |a| + |b| * sin〈a, b〉

3. 向量的向量积的性质中，以下哪一项是正确的？

   A. ∣a×b∣等于以a和b为邻边的矩形面积。

   B. a×a的结果总是非零向量。

   C. 若a与b平行（a‖b），则a×b=0。

   D. a×b的结果方向总是沿着a和b的延长线。

4. 下列哪个是向量的向量积运算律的正确表示？

   A. a×b = b×a

   B. (λa)×b = λ(b×a)

   C. (a+b)×c = a×c + b×c

   D. (a+b)×c = a×(c+b)

5. 关于向量的向量积，下面哪个说法是错误的？

   A. 向量没有除法操作。

   B. "向量AB / 向量CD"是有意义的数学表达。

   C. 向量的向量积可以用来确定一个右手系。

   D. a×b=0意味着向量a和b共线。

**二、填空题**

6. 向量的向量积的结果是一个______，其方向______于a和b，并且与a、b、______构成右手系。

7. 向量的向量积的模长可以用公式______来计算，其中|a|和|b|分别代表向量a和b的模长，______代表a和b之间的夹角。

8. 当两个向量a和b平行时，它们的向量积a×b等于______。

9. 向量的向量积性质中，a×a的结果为______。

10. 向量的向量积运算律表明，向量乘法不满足______性，但满足______性和______性。

**三、解答题**

11. 解释为什么向量的向量积可以用来确定一个右手系，并举例说明。

12. 证明当两个向量a和b垂直时，a×b的模长等于|a| * |b|。

13. 如果a=(2, 3, 4)，b=(-1, 2, 0)，计算a×b的值并指出它的方向。

14. 分析下列向量关系：a×b=0，说明向量a和b的关系，并画出相应的图形。

15. 假设a=(1, 2, 3)，b=(-2, 1, 4)，c=(3, -1, 2)，计算(a+b)×c，并解释这个结果在空间中的几何意义。

**答案**

**选择题**

1. B

2. B

3. C

4. C

5. B

**填空题**

6. 向量，垂直，a×b

7. ∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉，sin〈a，b〉

8. 0

9. 0

10. 交换，分配，线性

**解答题**

11. 向量积的结果垂直于原来的两个向量，并且遵循右手定则。当我们伸开右手，让大拇指指向向量a的方向，食指指向向量b的方向，那么中指的方向就是a×b的方向。在三维空间中，这三个方向构成了右手系，所以向量积可以用来确定空间的正方向。

12. 当a和b垂直时，它们的夹角θ=90°，sin90°=1。所以，根据向量积的模长公式，我们有 ∣a×b∣=|a|?|b|?sin90°=|a|?|b|。

13. a×b = (2*(-1) - 3*2, 3*(-1) - 4*0, 4*(-1) - 2*3) = (-2 - 6, -3, -4 - 6) = (-8, -3, -10)。方向是垂直于a和b，具体方向需要使用右手定则确定。

14. 因为a×b=0，根据向量积的性质，a和b要么共线，要么重合。如果它们在二维平面上，我们可以画出a和b，形成一条直线。

15. (a+b)×c = ((1-2, 2+1, 3+4)×(3, -1, 2)) = ((1, 3, 7)×(3, -1, 2))。计算这个向量积的具体数值，然后解释其表示的是(a+b)和c所决定的平面的法向量，即垂直于(a+b)和c的向量。