题目：初中数学实数的性质真题试卷及答案

一、选择题（每题2分，共20分）

1. 实数包括有理数和无理数，以下哪个数是无理数？

   A. 3.14

   B. √2

   C. 0.33333

   D. -2

2. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是？

   A. 正

   B. 负

   C. 零

   D. 不确定

3. 以下哪个数不是实数？

   A. π

   B. √3

   C. i

   D. -1

4. 实数a和b满足a < b，那么a²和b²的大小关系是？

   A. a² < b²

   B. a² > b²

   C. a² = b²

   D. 不确定

5. 若a，b，c是实数，且a < b < c，那么a³，b³，c³的大小关系是？

   A. a³ < b³ < c³

   B. a³ > b³ > c³

   C. a³ = b³ = c³

   D. 不确定

二、填空题（每题3分，共15分）

6. 已知a > 0，b < 0，且|a| = |b|，那么a + b = _______。

7. 若实数x满足|x - 1| < 2，那么x的取值范围是________。

8. 已知实数a，b满足a² + b² = 1，那么a + b的最大值是________。

9. 若实数x满足√(x - 1) = 2，那么x的值是________。

10. 已知实数a，b，c满足a + b + c = 0，那么a² + b² + c²的最小值是________。

三、简答题（每题10分，共30分）

11. 请解释实数的性质，并给出一个例子。

12. 解释实数的运算规则，并给出一个具体的例子。

13. 请解释实数的绝对值，并给出一个具体的例子。

四、计算题（每题15分，共30分）

14. 已知实数a，b，c满足a + b + c = 6，a² + b² + c² = 14，且a < b < c，求a，b，c的值。

15. 已知实数x，y满足x² + y² = 9，x + y = 4，求x，y的值。

五、解答题（15分）

16. 已知实数a，b，c，d满足a < b < c < d，且a² + b² = c² + d²，求证a + d = b + c。

答案：

1. B

2. B

3. C

4. D

5. A

6. 0

7. -1 < x < 3

8. √2

9. 5

10. 2

11. 实数包括有理数和无理数，有理数可以表示为两个整数的比，无理数则不能表示为两个整数的比。例如，√2就是一个无理数。

12. 实数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。例如，2 + 3 = 5，2 - 3 = -1，2 × 3 = 6，2 ÷ 3 ≈ 0.67。

13. 实数的绝对值表示该数到原点的距离。例如，|-3| = 3，|3| = 3。

14. 解：由题意得，a + b + c = 6，a² + b² + c² = 14。由于a < b < c，我们可以设a = x，b = x + y，c = x + y + z。代入得3x + 3y + 3z = 6，x² + (x + y)² + (x + y + z)² = 14。解得x = 1，y = 1，z = 1，所以a = 1，b = 2，c = 3。

15. 解：由题意得，x² + y² = 9，x + y = 4。将x + y = 4两边平方得(x + y)² = 16，即x² + 2xy + y² = 16。将x² + y² = 9代入得2xy = 7，所以xy = 7/2。联立x² + y² = 9和xy = 7/2，解得x = 3/2，y = 7/2或x = 7/2，y = 3/2。

16. 证明：由题意得，a² + b² = c² + d²。由于a < b < c < d，我们有(a + d)² = a² + 2ad + d² = b² + 2cd + c² = (b + c)²。由于a < b < c < d，我们知道a + d < b + c。因此，(a + d)² < (b + c)²，这与(a + d)² = (b + c)²矛盾。所以，a + d = b + c。