“六种方法”求线段长度

【几何求值】

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求线段的数量关系与位置关系是初中阶段常考的内容之一，那如何在纷繁复杂的题目中找到求线段长度的突破口呢。下面小编为大家整理了初中阶段常用求线段长度的方法。前四种是纯粹初中阶段的知识，后两种方法应用到高一的公式。由于中考中使用高中阶段知识解题并不算错误（应用错误则肯定不得分），因此特别普及一下。

【典型例题】

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD为斜边AB上的高，求CD的长．

图1

【解析】

【方法一】等面积法——用不同方式表示同一三角形的面积

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

又∵CD为斜边AB上的高，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

∴4×3＝5CD，CD＝2.4．

【方法二】勾股定理——构造直角三角形，用勾股定理建立方程

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

设BD＝x，则AD＝5－x．

又∵CD为斜边AB上的高，

∴在Rt△ADC与Rt△BDC中，

CD^2＝AC^2－AD^2＝BC^2－BD^2，

即4^2－（5－x）^2＝3^2－x^2，x＝2.4．∴CD＝2.4．

【方法三】相似——根据边角关系发现相似三角形的模型

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∠A＋∠B＝90°．

又∵CD为斜边AB上的高，∴∠BDC＝∠ADC＝∠C＝90°．

∴∠A＋∠ACD＝90°．∴∠B＝∠ACD．

∴△ABC∽△ACD．∴AB：AC＝BC：CD，即5：4＝3：CD，∴CD＝2.4．

【方法四】锐角三角函数——遇直角，优先考虑三角函数与勾股

解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

又∵CD为斜边AB上的高，∴∠BDC＝∠C＝90°．

∴sin B＝CD：BC＝AC：AB，即CD：3＝4：5．∴CD＝2.4．

【方法五】两点之间的距离公式——勾股定理的推广，不超纲，选填直接用

如图2，以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．

则C（0，0），A（0，4），B（3，0）．

【备注】两点间的距离公式：

A（x1，y1），B（x2，y2）

AB=√(x1-x2)²+(y1-y2)²

【方法六】点到直线的距离公式——结合垂直的斜率关系

设直线AB的解析式为y＝kx＋4，代入B（3，0），得0＝3k＋4，k＝－．

图2

【备注】两直线平行：k1=k2；两直线垂直：k1·k2=-1．

点到直线的距离公式：

点A（x′，y′），直线l：y=kx+b，则

点A到直线l的距离为：d=|kx′-y′+b|/√(1+k²)

即：把y=kx+b移项变成kx-y+b=0，把点A的横纵坐标代入左边，得kx′-y′+b并取绝对值，再除以(1+k²)的算术平方根

怎么样？有收获吗？希望这些方法可以帮你找到解题的突破口，快速解决难题！

【举一反三】

你会几种解法呢？