本文将阐述一下函数图象过定点的问题．

学习了二次函数的顶点式与交点式之后，我们就可以完成下面两个题目了：

⑴二次函数y＝a（x－1）²＋3的顶点坐标为____________．

⑵二次函数y＝a（x－1）（x＋3）与x轴的交点坐标为____________ ．

【答案】

⑴（1，3）．⑵（1，0）和（－3，0）．

【总结】

我们发现两题中的二次函数解析式都有一个参数a的值是待定的，但是二次函数都会经过与a无关的定点．换句话说，也就是该定点与a的取值无关．

因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．

【典型例题】

二次函数y＝ax²－2ax＋1的图象必经过点____________．

【答案】（0，1）和（2，1）．

【分析】

因为y＝ax²－2ax＋1＝ax（x－2）＋1，

所以当x（x－2）＝0，即x＝0或2时，

代数式ax（x－2）＋1的取值与a无关．

当x＝0或2时，y＝1．

所以二次函数y＝ax²－2ax＋1的图象必经过点（0，1）和（2，1）．

【变式练习】

⑴二次函数y＝ax²＋bx＋1的图象必经过点____________．

⑵若a－b＋c＝0，且a≠0，则二次函数y＝ax²＋bx＋c必经过点____________．

⑶某二次函数y＝ax²＋（a＋c）x＋c必过定点____________．

⑷（2016年广州中考压轴题改编）证明抛物线y＝mx²＋（1－2m）x＋1－3m一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标．

【参考答案】

⑴（0，1）．

⑵（－1，0）．

⑶（－1，0）．

⑷证明：

∵抛物线y＝mx²＋（1－2m）x＋1－3m，

∴y＝m（x²－2x＋3）＋x＋1，

因为抛物线过定点，说明在这一点的y与m无关，

显然当x²－2x＋3＝0时，y与m无关，

解得：x＝3或x＝－1，

当x＝3，定点坐标为（3，4）；

当x＝－1，定点坐标为（，0），

∵P不在坐标轴上，

∴P（3，4）．