01、模型呈现
如图1和图2，在△ABC和△CDE中，点C是直线BD上的点．若∠ACE=∠ABD=∠EDF，则△ABC∽△CDE．特别地，当AC=CE时，△ABC≌ △CDE．
上述两个图呈现的是两种最典型的“一线三等角”模型，即同侧型和异侧型，两者所求证的结论均可通过导角证明．该模型最本质的特点为: 有3个等角的顶点在同一条直线上，且这个角可以是锐角、直角或钝角．而随着角顶点位置的适当改变或角绕顶点旋转一定角度，常会产生许多和谐美观的图形，且结论仍然成立．正因如此，近年来各地命题专家们命制了许多可用“一线三等角”模型求解的中考试题，这些试题大都突出对学生能力与思维的考查，重视数学经验与思想方法的获得，常常具有较高的区分度．
02、试题赏析
类型1：三角齐见，模型自现
例1：如图3，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使 点B落在AD上，记为B'，折痕为CE;再将CD边斜向下对折，使点 D落在B'C上，记为D'，折痕为CG，若B'D'=2，BE=1/3BC，则矩形纸片ABCD的面积为________．
图3
分析：因为∠A=∠EB'C=∠D=90°，且点A，B'，D在同一直线上，由“一线三等角”模型，得△AEB'∽△DB'C，则
类型1：三角齐见，模型自现
例2：将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图4所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB 的两腰CA，CB于点M，N．若CA=5，AB=6，AD∶AB=1∶3，则MD+12/MA·DN的最小值为________．
图4
分析：由于∠A=∠MDN=∠B，且点A，D，B在同一直线上，因此根据“一线三等角”模型可得△MAD∽△DBN，则
评注
以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．
类型2：隐藏局部，小修小补
例3：如图5，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME 交AD延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE长为
图5
分析：如图6，由于∠B=∠AME=90°，因此延长BC，过点E作BC 延长线的垂线，两者交于点N．根据“一线三等角”模型，可得△ABM∽△MNE，则
而AB=EN=12，BM=5，则MN=144/5，故DE=CN=MN－MC=MN－(BC-BM)=109/5．
图6
类型2：隐藏局部，小修小补
例4：如图7，在平面直角坐标系xOy中，直线y=－x+m分别交x轴、y轴于点A，B，已知点C(2，0)．
1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是;
2)设点P为线段OB的中点，联结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．
图7
分析：1)√2;
2)如图8，因为∠ABO=∠APC=45°，在y轴的负半轴上找一点D，使得∠CDO=45°，则△ABP与△PDC构成“一线三等角”模型，所以△ABP∽△PDC，从而AB/PD=BP/DC,易知m＞0，AB=√2m，BP=m/2，PD=m/2+2，CD=2√2，于是
解得m=12.
图8
评注
上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显:均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．
类型3：一角独处，两侧添补
例5：如图9，一块30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=k1/x(其中x＞0)的图像上，顶点B在函数y2=k2/x(其中x＞0)的图像上，∠ABO=30°，则k1/k2=_______．
图9
分析：如图10，由于∠AOB=90°，因此过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．由“一线三等角”模型可得△ACO∽△ODB，则
图10
事实上，该题亦可利用异侧型“一线三等角”(如图9，设AB交x轴于点E，则△AOE∽△OBE)求解，由于与上面的解法类似，这里不再赘述．
类型3：一角独处，两侧添补
例6：如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为
图11
分析：如图12，由于∠BAE=45°，因此过点A作AD的垂线，在该垂线上分别找点M，N(其中点N在点A下方)，使得∠BMA=∠ENA=45°．过点E作MN的垂线，垂足为点F，延长CB交MN于点G．
图12
易知四边形ADCG为正方形，则AG=CG=CD=4；而AB=BC+AD，不难推知AB=5，BG=3，BC=1．由于∠BAE=∠M=∠N=45°，根据“一线三等角”模型可得△ABM∽△EAN，则
评注
上述两道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．两道题实质上是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．
类型4：线角齐藏，经验来帮
例7：如图13，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y=k/x的图像上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图像于点C，则点C的坐标为_______．
图13
分析：如图14，过点C作AC的垂线，交射线AB于点D，过点C作x轴的平行线，在该平行线上分别找点E，F，使得∠DEC=∠AFC= 90°．
图14
由“一线三等角”模型及∠DAC=45°，得△DEC≌△CFA．又点A，B坐标分别为(2，3)，(0，2)，从而k=6，于是
类型4：线角齐藏，经验来帮
例8：如图15，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a取值范围是________．
图15
分析：由于点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，从而 ACmin=√3，于是正方形ABCD的边长amin=√6/2．根据正方形和正六边形的中心对称性，要使正方形边长a最长，则正方形的对称中心和正六边形的对称中心O互相重合．
图16
如图16，联结OA，OB，过点A，B作GH的垂线，垂足分别为点E，F，直线BF分别交GP，GQ于点M，N．易知∠BFO=∠AOB=∠AEO=90°，根据“一线三等角”模型及OA=OB，可得△AOE≌△OBF，从而AE=OF=√3/2，说明点B在定直线MN上运动，当点B运动到点M或N时，正方形ABCD的边长a最长．
图17
如图17，当点B与点M重合时，由GF=1－√3/2，知
评注
上述两道题实质上都以图形的旋转为问题的切入点，能较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架．两道题都意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度．
通过上述的例3～例8，不难发现:对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升．若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便会油然而生，豁然开朗．
03、教学启示
在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利用在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼．只有让学生学会自主地反思、推进、提炼，才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对一些基本模型和结论的挖掘，能更好地弄清问题的本质，为解决问题搭建好思维的“脚手架”，进而切实有效地提升学生的解题能力，发展学生的思维水平．当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究，通过让学生在拓展基本模型的过程中，感悟模型的本质，从而做到化题为型、串题成链、结题成网，真正实现思维品质的提升．
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