初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解

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韦达定理是初中数学中的一条非常重要的定理，涉及的章节包括一元二次方程，二次函数。在中考中也多有涉及。

一、已知一元二次方程的一个根，求另一根

例1：关于x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣x﹣2=0，若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．

分析 本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决．应用时应把方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．

二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求

例2 已知关于x的一元二次方程x²＋6x＋a＝0（a为常数）的一个根为√11－3，求a的值．

三、求两根和、积及其代数式的值．

例3．若x₁，x₂是关于x的方程x²﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x₁²﹣3x₁﹣x₂﹣6的值是_________．

分析：通过韦达定理求出x₁+x₂与x₁x₂的值，将其整体代入到所求的代数式中求值。

四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根

例4 试检验4＋3√2与4－3√2是不是方程x²－8x＋4＝0的两根。

分析 本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．

五、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号

例5　 m为何值时，关于x的一元二次方程(m＋3)x²－mx＋1＝0的两个根，

(1)均为正数； (2)一正一负； (3)均为负数，

分析 本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．