九年级数学必考题：一元二次方程根的判别式与韦达定理探究

一元二次方程常见考点：①定义②解法③根的判别式④根与系数的关系⑤应用题

例1：如果关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．

（1）若一元二次方程x﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；

（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m﹣5mn+n的值；

（3）若关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．

【分析】（1）由一元二次方程x﹣3x+c＝0是“倍根方程”，得到x+2x＝3，2x＝c，即可得到结论；

（2）解方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）得，x＝2,x=n/m.由方程两根是2倍关系，得到x＝1或43，代入解方程即可得到结论；

（3）根据“倍根方程”的概念得到原方程可以改写为a（x﹣t）（x﹣2t）＝0，解方程即可得到结论．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x，x是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x＝﹣a/b，x1x2＝a/c．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．

例2：已知关于x的一元二次方程（a+b）x+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论；

（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论；

（3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程．

例3：已知关于x的方程x﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x、x是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x≠x；②xx＜ab；③x+x＜a+b．则正确结论的序号是________．（填上你认为正确结论的所有序号）

【分析】（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；

（2）根据两根之积就可以判定是否正确；

（3）利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握．