初中几何绝对经典必须学会的“K”字模型的提炼及应用

相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题能力的重要载体.本文从探究的一个基本模型——“K”字模型入手，尝试从复杂的图形中分离和构造基本形图，从而将三角形问题“模块”化，以拓展解题思路，提高解题效率.

一、探索模型起源，树立模型意识

下面以大家熟知的勾股定理证明为例，对“K”字模型进行深入探究和有意识构建，以培养我们的模型使用意识.

勾股定理的证明方法有很多，用四个全等的直角三角形来验证，除了赵爽的经典弦图之外，还有著名的“毕达哥拉斯证法”.

我们在“毕达哥拉斯证法”的基础上，将图1中的图形截取一半，使他成为直角梯形，由两个全等的直角三角形和等腰直角三角形构成，重新设置顶点字母后，如图2所示.这种验证勾股定理的方法通常称为“总统证法”.因此，勾股定理的“总统证法”与“毕达哥拉斯证法”的本质相同，利用面积关系均可证明勾股定理.

“总统证法”中构造的几何图形是一个非常重要的几何模型，它在解题中有着广泛的应用.利用这一几何模型，可简解与之相关的试题.观察图形便知，模型图为直角梯形，其中含有两个全等的直角三角形、一个等腰直角三角形，隐藏着正方形;蕴含着角相等、角互余、角互补、线垂直、线平行等多种特殊关系，即在Rt△ABC和Rt△CDE中(如图2)，有AC=CE,∠B=∠D=∠ACE=90°，点B,C,D在同一直线上，则Rt△ABC≌Rt△CDE.

现将条件作适当改变而基本图形不变，对“总统证法”作进一步探索研究如下:

注 本题图形书从数量看是一线三直角，从结构特征看是夹角为90°的“K”字形，则有两三角形相似.

由此可见，通过对勾股定理的多种证法及其对应模型的进一步剖析，可以发现其内在的基本模型" K'，字形图的存在依据，从而使我们对“K”字形的模型有了深刻的认识，为巧妙利用基本模型来解题打好基础.

二、认知提炼模型，灵活解决问题

在上述模型意识的基础上，如何在多样的变化中识别问题特征，灵活解决问题?具体来说，应不断深化对模型的认知层次:

初级认知是在不同情境中举一反三，直接运用基本图形来解决问题;

中级认知是基于模型的关键点建立知识联系，在添加辅助线构造基本图形，再运用基本图形解决问题;

高级认知是在解题人心中具备成熟模型意识，只需根据条件进行调用，拓展基本图形，分析它们的联系即可.

下面，举例进行说明.

1.直接运用基本图形

例1

如图4，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连结CF.过点F作FE⊥，交AD于点E,AF=3，则AE等于( )

(A) 1 (B) 1.5 (C)2 (D) 2. 5

注本题是直接利用“K”字形图的基本图形来解决问题.通过条件确定基本模型，得出两个三角形相似，根据对应边得出比例关系，即可举一反三得出答案.

2.添加辅助线后运用基本图形

当无法直接发现“K”字形图，欲利用基本模型来解决问题，可以通过添加辅助线的形式，构造出我们熟悉的模型.

注 不同类型的问题有着相同的内在规律，我们通过识图可发现图形的本质，以添加辅助线方法构造基本的解题模型，就能迅速找到这类问题的切入口.比如本题求比值时，可以通过距离，联想作垂直辅助线，建立基本模型“K”字形图，再根据其性质可立即解决问题.

3.弱化条件“直角”，拓展基本图形

在利用基本模型解题时，我们还要进行一题多问的发散、一题多变的尝试，从而实现思维的提升，知识的迁移.

上述通过分析研究“总统证法”发现，将线段相等的条件弱化，得到的“K”字形图(一线三垂直)，仍有三角形相似.下面再将垂直条件弱化.

拓展二 如图6，如果弱化条件“直角”，仍有点B,O,C三点共线，∠B=∠C=∠AOD，那么△BOA∽△CDO成立吗?

分析 按照基本图形的证明方法，结论仍然成立.

如图7，在△ABC中，O是BC上一点，点E,F分别在AB,AC上，∠B=∠C=∠EOF=α

，则△BOE∽△CFO.(证明略)

综上，我们得到了“K”字形图(一线三等角)，必有相似形.分析如下:

当点E与A重合时，如图8，则△BOA∽△CFO(证明略).

当点O为BC中点时，如图9，则△BOE∽△CFO∽△OFE (证明略).

以上通过对“K”字形模型在“一线三垂直”的基础上，进行有效扩充，完成了“一线三等角”的验证，使得“K”字形模型的运用领域更加广泛.