解析算术平方根的双重非负性

算术平方根√a(a≥0)具有双重非负性.一是被开方数具有非负性，即a≥0;二是算平方根本身具有非负性，即√a≥0.算术平方根的双重非负性还有两个特征.一是兼容性，容易与其它知识点组合成有一定分值的综合题，而双重非负性往往是解题的切入点，更是解题的关键.二是隐含性，如果不仔细观察，认真分析，解题中容易造成多解或漏解.因此算术平方根的双重非负性是一类热点问题.本文深度解析算术平方根的这种双重非负性，以帮助同学们在解题时能够得心应手.

一、确定字母的取值范围

例1 已知实数a满足∣2017-a∣+√a-2018=a，求a-2017²的值

分析 如何去绝对值?如何去根号?如何确定的范围?这些问题逐层挖掘出此题的切入点!那就是——隐含条件:被开方数a-2018≥0.

评注 题目不要求求字母的取值范围，而解题时必须求字母的取值范围，这就是被开方数为非负数的隐含性，挖掘出这个隐含性，就是解题的关键.

二、确定最大值或最小值

点评 熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键.

三、求字母的值

例3 一个数的算术平方根为2m-6，它的平方根为±(m-2)，求这个数.

解答

依题意，可知2m-6是m-25或者是-(m-2)两数中的一个.

当2m-6=m-2，解得m=4, (2m-6)=2, 这个数为4.

当2m-6=-(m-2)时，解得m=8/3

这个数为4/9

综上可知，这个数为4或4/9

∵2m-6是某数的算术平方根

∴2m-6≥0解得m≥3

又m=8/3不符合题意，应舍去.

故答案为:这个数为4

分析 小张的解法错在哪里呢?仔细审题，发现2m-6是算术平方根.由算术平方根的非负性质可知2m-6≥0，因此要对求得的m的值作出取舍.