一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）深度解析

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x₁,x₂，那么x₁+x₂=-b/a,x₁×x₂=c/a

说明：（1）定理成立的条件b²-4ac≥0

（2）注意公式x₁+x₂=-b/a中的负号与b的符号的区别

根系关系的三大用处

（1）计算对称式的值

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

【练习】

1．设x₁，x₂是方程2x²－6x＋3＝0的两根，则x₁²＋x₂²的值为_________

2．已知x₁，x₂是方程2x²－7x＋4＝0的两根，则x₁＋x₂=____，x₁·x₂＝____，（x1－x2）²＝____

3．已知方程2x²－3x+k=0的两根之差为2，则k=___;

4．若方程x²+(a²－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=____;

5．若关于x的方程x²+2(m－1)x+4m²=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为__ ;

（2）构造新方程

理论：以两个数x₁,x₂为根的一元二次方程是x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0。

例 解方程组 x+y=5

xy=6

解：显然，x，y是方程z²-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z₁=2,z₂=3

∴原方程组的解为 x₁=2,y₁=3

x₂=3,y₂=2

显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

【典型例题】

已知关于x的方程x²-(k+1)x+¼k²+1=0，根据下列条件，分别求出k的值．

(1) 方程两实根的积为5；

(2) 方程的两实根x₁,x₂,满足∣x₁∣=x₂．

分析：

(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x₁=x²＞0，二是-x₁=x₂，所以要分类讨论．

说明：

根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足b²-4ac≥0．