巧用勾股定理列方程求解几何计算题

勾股定理被被誉为千古第一定理，是“几何学的基石和明珠”，也是相关考试中的重点考查内容之一，勾股定理除了可以解决“已知直角三角形的两条边长，求第三边”外，在求解折叠、切线、特殊四边形计算等问题时，也常会出现直角三角形及其边长的一些数量关系，此时可结合题意，借助相关概念及图形性质，找到或者构造出各边之间存在着某些数量关系的直角三角形，从而利用勾股定理列出方程求解.下面对这类问题进行归类整理.

一、已知三角形的一条边长，及另两边的数量关系

这类问题关键是首先要找到或构造出这样的一个直角三角形，利用全等、等腰三角形、切线等性质确定其中两边的数量关系.那么，这两条边都可以用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.

1、利用全等的性质建立数量关系

例1 (2015年泰州中考题)如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将⊿ABP沿BP翻折至⊿EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为＿.

分析 根据OE=OD，可以证明⊿ODP≌⊿OEG，从而得到EG=DP,EP=DG.若设AP=x，则CG、BG

可以用含x的代数式表示.在RT⊿BCG中，BC的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.

2、利用等腰三角形性质建立数量关系

例2 (2017年哈尔滨中考题)如图2，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM，则BM的长为＿.

分析 已知点D到∠AMC两边的距离相等，连结DM，可证明EM=CM，DM平分∠AMC，结合AD∥BC，由“两平”可得到⊿ADM是等腰三角形.若设EM=X，则AM,BM可以用含x的代数式表示.在⊿ABM中，AB的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.

3、利用切线的性质建立数量关系

例3 (2015年宁波中考题)如图3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的

⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为＿.

分析 根据切线的性质，连结OE，则OE⊥，结合AD∥，反向延长OE交AD于点F，则OF⊥AD.若连结OA，在RT⊿OAF中，AF的长已知，OF、OA的长可以用含r的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.

二、一个直角三角形的三条边可以用含同一个未知数的代数式表示

这类问题与第一类类似，关键是要结合题目的条件，利用折叠、相似等性质，找到或者构造这样的一个直角三角形，将三边用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.

1、利用折叠建立数量关系

例4 (2018年杭州中考题)如图4，折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作:①把⊿ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上;②把纸片展开并铺平，得到正方形AEFD;③把⊿CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上.若AB=AD+2，EH=1，则AD=＿.

分析若设AD=X，由折叠可知DH=DC=X=2，AH=AE-HE=X-1.在RT⊿ADH中，三条边长可以用含X的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.

2、利用相似建立数量关系

例5 (2017年潍坊中考题)如图5，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点

B落在AD边上，记为B₁，折痕为CE;再将CD边斜向下对折，使点D落在B₁C₁边上，记为D₁，折痕为CG，B₁D₁=2，BE=⅓BC，矩形纸片ABCD的面积为＿.

分析 由折叠，可知∠EB₁C=∠B=90°.根据“一线三垂足”模型，易证⊿AEB₁:⊿DB₁C，且相似比为⅓.在RT⊿AEB₁中，若设BE=X，则三边都可以用含X的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.