例谈因式分解的方法与技巧

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考:

一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解：a-b+4a+2b+3

解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），

则a-b+4a+2b+3=a-b+4a+2b+4-1=(a+4a+4)-(b-2b+1)=(a+2)-(b-1)=(a+b+1)(a-b+3)

例2、因式分解x+6x+11x+6

解析：根据多项式的特点,把6x拆成2x+4x；把11x拆成8x+3x

则x+6x+11x+6=（x+2x）+（4x+8x）+（3x+6）=x（x+2）+4x（x+2）+3（x+2）=（x+2）（x+4x+3）=（x+1）（x+2）（x+3）

二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解x-3x+4

解析：根据多项式的特点，将-3x拆成-4x+x，再添上4x，-4x两项，

则x-3x+4=x-4x+4x+x-4x+4=x（x-4x+4）+（x-4x+4）=（x-4x+4）（x+1）=（x+1）（x-2）

三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例4、因式分解（x+3x-4）（x-x-6）+24

解析：（x+3x-4）（x-x-6）+24=（x-1）（x+4）（x+2）（x-3）+24

=（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）+24

=（x+x-2）（x+x-12）+24

设y=x+x-2，则x+x-12=y-10 于是，原式=y（y-10）+24=y-10y+24

=（y-4）（y-6）=（x+x-2-4）（x+x-2-6）=（x+x-6）（x+x-8）

=（x-2）（x+3）（x+x-8）

例5、因式分解（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）

解析：设x+y=m，xy=n，则（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）

=（m-2n）（m-2）+（n-1）=m-2mn+n-2m+2n+1

=（m-n）-2（m-n）+1=（m-n-1）=（x+y-xy-1）

=[(x-1)(1-y)]=(x-1)(y-1)

四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例6、因式分解mn(x+y)+xy(m+n)

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解

mn(x+y)+xy(m+n)=mnx+mny+xym+xyn

=(mnx+xym)+(mny+xyn)=mx(nx+my)+ny(nx+my)=(nx+my)(mx+ny)

例7、因式分解(mx+ny)+(nx-my)

解析：(mx+ny)+(nx-my)=mx+2mnxy+ny+nx-2mnxy+my

=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)（x+y）

五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例8、因式分解ab+ab+ac+ac+bc+bc+2abc

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理

ab+ab+ac+ac+bc+bc+2abc=a(b+c)+a(b+2bc+c)+bc(b+c)

=a(b+c)+a(b+c)+bc(b+c)=(b+c)[a+a(b+c)+bc]

=(b+c)(a+ab+ac+bc)=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]=(a+b)(a+c)(b+c)

从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发同学们的学习兴趣。