高考精讲知识点（23）：正弦、余弦定理及解三角形

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、三角形中的边与角之间的关系

要点二、正弦定理、余弦定理

要点诠释：

（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.

（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.

（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；

②已知三角形的三条边，求其三个角.

要点三、解斜三角形的类型

要点诠释：

1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.

2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能．

要点四、三角形面积公式

要点五、实际问题中的常用角

3. 坡角和坡度

坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。

【典型例题】

类型一、利用正弦、余弦定理解三角形

【总结升华】

①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；

②解三角形时，要留意三角形内角和为180°，同一个三角形中大边对大角等性质的应用.

举一反三：

【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正弦定理，；若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理.

举一反三：

类型二、解三角形及其综合应用

【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，然后应用三角函数的有关概念及公式进行恒等变换，从而达到解题的目的.

举一反三：

举一反三：