这个高考数学热点，你掌握好了吗？

高考数学，函数与方程典型例题分析1：

设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－a/2.

(1) 求证：函数f(x)有两个零点；

(2) 设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1－x2|的取值范围；

(3) 求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内．

(1) 证明：∵ f(1)＝a＋b＋c＝－a/2，

∴ 3a＋2b＋2c＝0.

∴ c＝－3a/2－b.

∴ f(x)＝ax2＋bx－3a/2－b，

(3) 证明：f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，

由(1)知3a＋2b＋2c＝0，

∴ f(2)＝a－c.

①当c＞0时，有f(0)＞0，

又∵ a＞0，

∴ f(1)＝－a/2＜0，

∴ 函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．

②当c≤0时，f(2)＝a－c＞0，f(1)＜0，f(0)＝c≤0，

∴ 函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点，

综合①②可知函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．

解题反思：

本题结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决。

学好函数与方程对于高考数学来说为什么会这么重要？我们认真研读《高考数学考试说明》，会发现这么重要三点：

1、函数与方程思想是一种非常重要的数学思想方法，也是高考数学重点考查对象；

2、客观题主要考查函数与方程思想的基本运算、方法技巧等基本数学能力；

3、解答题主要考查考生数学综合能力，如从更深层次的角度，在知识网络的交汇处，去考查学生的思维能力、思想方法、逻辑推理、应用能力等。

函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：

1、借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；

2、通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解。

高考数学，函数与方程典型例题分析2：

已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m>0

(1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；

(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m的取值范围；

(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．

(1) 证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x2)＝3x－x3，

因为f′(x)＝3－3x2＝3(1－x2)>0，

所以f(x)是增函数，

函数是高考数学的重要内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，函数在高中数学中的举足轻重的地位。因此，函数与方程的思想一直是高考数学重点考查对象。

如果我们想要学好函数与方程相关知识内容，那么就要把基本初等函数的图象及性质牢牢掌握好，同时要加强学习函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用。

值得注意：函数与方程相关问题还会涉及到分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法，大家一定要认真对待。

高考数学，函数与方程典型例题分析3：

在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1) 求圆C的方程；

(2) 若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

要想掌握好函数与方程思想，我们可以从两个方面去了解：函数思想和方程思想。

函数的思想：

就是用运动和变化的观点，对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

方程的思想：

就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决。

方程思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去解决它。

因此，函数和方程的思想简单地说：就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。很多时候，在中学时期遇见凡是涉及未知数问题，我们都可以用函数与方程思想去解决。

高考数学，函数与方程典型例题分析4：

若a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围．

解：直接利用基本不等式ab≤{（a+b）/2}2，构造不等式，然后解不等式即可．

ab＝a＋b＋3≤{（a+b）/2}2，

(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，

(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0.

从而得a＋b≥6.(当且仅当a＝b＝3时取等号)

故a＋b的取值范围是[6，＋∞)．

解题反思：

本题解法很多（欢迎大家继续挑战，找出其他的解法），关键要学会转化。