数学一轮复习13，函数与数学模型，掌握解决实际问题的关注点

【考试要求】

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；

2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；

3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.

【微点提醒】

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.

2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.

1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【规律方法】　1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.

2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：

①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.

【反思与感悟】

解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

【易错防范】

1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.

2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.

3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.