举一反三系列10——裂项解方程

有些方程若按常规解法则烦不胜烦，而采用裂项抵消法则可以化繁为简。请看：

例 解方程：

1/(x^2+3x+2)+3/(x^2+7x+10)+

4/(x^2+6x+5)=-2.

解析：直接去分母显然不是解法的选项。注意各个分母可分别因式分解，因此，先将方程化为：

1/[(x+1)(x+2)]+3/[(x+2)(x+5)]+

4/[(x+1)(x+5)]=-2，

联想到计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…时的裂项抵消法，设法将各个分式化为两个分式的和差。

因为1=(x+2)-(x+1)，3=(x+5)-(x+2)，

4=(x+5)-(x+1)，

所以方程可化为

1/(x+1)-1/(x+2)+1/(x+2)-1/(x+5)+

1/(x+1)-1/(x+5)=-2，

所以2/(x+1)-2/(x+5)=-2，

即1/(x+1)-1/(x+5)=-1，

去分母，得

x+5-(x+1)=-(x+1)(x+5)，

整理，得x^2+6x+9=0，

解得x=-3.

经检验x=-3是原方程得根，

所以原方程得根是x=-3.

练习：

（1）解方程：

1/[(x-1)(x-2)+2/(x^2-2x)+1/(x^2-x)=-3.

（2）解方程：

1/[(x+7)(x+8)]+1/[(x+8)(x+9)]

-2/[(x+9)(x+7)]+1/(2x+1)=1.

（3）1/[(x+1)(x+2)]+1/[(x+2)(x+3)]+…

+1/[(x+2018)(x+2019)]=2018/2019.