关于高中数学中恒成立问题的最值转换法与主元变换法

恒成立问题是高中函数的一个交汇点，综合函数、方程、不等式多个考点，涉及二次、三次、指数、对数等多种函数，在高考中属于难题，多在选择题最后或解答题的压轴中出现。

最值转换法是恒成立问题最典型的一种解法。首先记住结论：若f(x)≥0在定义域内恒成立，等价于[f(x)]min≥0；若f(x)≤0在定义域内恒成立，等价于[f(x)]max≤0。

例1是可求最值型恒成立问题中最简单的类型，二次函数也是大家比较熟悉的函数。如果稍微改编一下，可以提升一些难度，比如把条件改为“对任意x∈[1，3），f（x）≥0恒成立”，则变成二次方程根的分布问题，这里不再展开。

关于上述结论，可以进行一些简单的拓展，如：

(1) 若f(x)≥m在定义域内恒成立，等价于[f(x)]min≥m或 [f(x)-m]min≥0；若f(x)≤m在定义域内恒成立，等价于[f(x)-m]max≤0,m为常数。

(2) 若f(x)≥g(x)在定义域内恒成立，等价于[f(x)-g(x)]min≥0，或 [f(x)]min≥[g(x)]max；若f(x)≤g(x)在定义域内恒成立，等价于[f(x)-g(x)] max≤0或[f(x)]max≤[g(x)]min。选择哪种形式，关键看f(x)和g(x)的最值合在一起是否好求，如例2和例3。

对于含有两个参数，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，求另一参数的取值范围。我们再看一例。

我们习惯于把x当作自变量，而把a，t，m，n等作为参数，但这只是一种习惯，在解题时不要被这种惯性思维固定住。

本文只介绍了求解恒成立问题的两种方法，实际上还有其他方法，以后再做介绍。这两种方法只作为这类问题的切入思路，在具体求解中涉及大量的技巧，需要通过多练、多思来掌握。