超全几何模型：中点、角平分线、手拉手、半角、弦图、最短路径等

中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC＝60°，G是DF的中点，连接GC、GE．

（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB＝10，BF＝4，求GE的长；

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GE、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；

（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．

【解答】

（1）延长EG交CD于点H

易证明△CHG≌△CEG，则GE＝3√3

（2）延长CG交AB于点I，

易证明△BCE≌△FIE，则△CEI是等边三角形，GE＝√3GC，且GE⊥GC

（3）

【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE＝∠BAF.

（1）求证：CE＝CF；

（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG、EG，求证：DG⊥EG.

【解答】

（1）证明△ABE≌△ADF即可；

（2）延长DG与AB相交于点H，连接HE，证明△HBE≌△EFD即可

【例3】如图，在凹四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点，CD交EF于H点，求证：∠BGE＝∠CHE.

【解答】

取BD中点可证，如图所示：

角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形

【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交边CD于F点，交AD边于H，延长BA到G点，使AG＝CF，连接GF.若BC＝7，DF＝3，EH＝3AE，则GF的长为_______.

【解答】

延长FE、AB交于点I，易得CE＝CF，BA＝BE，设CE＝x，则BA＝CD＝3＋x，BE＝7－x，

3＋x＝7－x，x＝2，AB＝BE＝5，AE＝，作AJ⊥BC，连接AC，求得GF＝AC＝3

手拉手模型

【条件】OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD

【结论】△OAC≌△OBD，∠AEB＝∠AOB＝∠COD（即都是旋转角）；OE平分∠AED

【例5】（2014重庆市A卷）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．

【答案】6√5/5

【例6】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE，AG⊥BE于F，交BC于点G，求∠DFG．

【答案】45°

【例7】（2014重庆B卷）如图，在边长为6√2的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH．若BH＝8，则FG＝_____________．

【答案】5√2

邻边相等对角互补模型

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°

【结论】AC平分∠BCD

【模型2】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°

【结论】① ∠ACB＝∠ACD＝45°； ② BC＋CD＝√2AC

【例8】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，G为CD中点，DE＝DG，FG⊥BE于F，则DF为_____.

【答案】9√5/5

【例9】如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使BM＝1，连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连结ON，则ON的长为__________.

【答案】6√5/5

【例10】如图，正方形ABCD的面积为64，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，则DG的长为___________.

【答案】4√3+4

半角模型

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°，∠EAF＝

1/2∠BAD， 点E在直线BC上，点F在直线CD上【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系

【模型2】

【条件】如图，在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N．

【结论】①BE＋DF＝EF；

②

；③AH＝AB；

④

；⑤BM2＋DN2＝MN2；

⑥△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM（由AO：AH＝AO：AB＝1：√2可得到△ANM和△AEF相似比为1：√2）

⑦

⑧△AOM∽△ADF；△AON∽△ABE；

⑨△AEN为等腰直角三角形，∠AEN＝45°，△AFM为等腰直角三角形，∠AFM＝45°；⑩A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆．

【模型2变形】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是CB、DC延长线上的点，且满足∠EAF＝45°

【结论】BE＋EF＝DF

【模型2变形】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是BC、CD延长线上的点，且满足∠EAF＝45°

【结论】DF＋EF＝BE

【例11】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q.若AQ＝12，BP＝3，则PG＝__________.

【解答】连接AE，题目中有一线三等角模型和半角模型

设AC＝x，由△BPC∽△CEQ得

BP/CE=BE/CQ， 3/(（√2/2)x）＝(√2/2)x/（x＋12），解得x＝12

设PG＝y，由AG2＋BP2＝PG2得32＋(12－3－x)2＝x2，解得x＝5

【例12】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE交于点G，连接CG与BD交于点H，若CG＝1，则S四边形BCDQ＝__________．

【解答】√3/4

一线三等角模型

【条件】∠EDF＝∠B＝∠C，且DE＝DF

【结论】△BDE≌△CFD

【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB＝3，GC＝4，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.

【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH≌△FGI

则BC＝BF＋CF＝HF－BH＋FI－CI＝GI－BH＋HE－CI＝7√3/3

弦图模型

【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段

【结论】新构成了同心的正方形

【例14】如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点F在DE的延长线上，AF＝AB，AC与FD交于点G，∠FAB的平分线交FG于点H，过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I.若AH＝3AI，FH＝2√2，则DG＝__________．

【解答】17√2/4

【例15】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是AC中点，连接BE，作AG⊥BE于F，交BC于点G，连接EG，求证：AG＋EG＝BE．

【解答】过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，易证

最短路径模型

【两点之间线段最短】

1、将军饮马

2、费马点

【垂线段最短】

【两边之差小于第三边】

【例16】如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．

【解答】600+500√3，点线为最短．

【例17】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值为______________________．

【解答】如图，取AB中点P，连接PH、PD，易证PH≥PD-PH即DH≥√5-1．

课后练习题

【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．

【解答】5/2

【练习2】已知：如图1，正方形ABCD中，为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

求证：EG＝CG且EG⊥CG；

将图1中△BEF绕B逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？

【解答】

略

方法一：如图所示

方法二：如图所示

（3）

方法一：

方法二：