二次函数与圆的综合运用

如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x/2+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；

（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；

（3））先证明∠FPE=∠FBD．则得到PF：PE：EF的比值．则△PEF的面积=PF2/5，设点P的坐标为（x，﹣2x2/9﹣4x/9+16/9），则F（x，﹣x/2+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．