基础题

1．已知A＝{x|3－3x＞0}，则下列各式正确的是( )

A．3∈A B．1∈A

C．0∈A D．－1∉A

2．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.

集合的表达方法：

①列举法：如集合A={a，b，c，d}，其中a≠b≠c≠d

②描述法：如集合A={x｜x+2=3 }或A={x｜a＜ x＜b }等。

③图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

错误的表示方法：A={x=a}、A={a，a}

1．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )

A．{y|y＝2} B．{x＝2}

C．{2} D．{x|x ^2－4x＋4＝0}

2．下列命题中正确的( )

①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．

A．只有①和④ B．只有②和③

C．只有② D．以上语句都不对

3．用列举法表示集合{x|x^2－2x＋1＝0}为( )

A．{1,1} B．{1}

C．{x＝1} D．{x^2－2x＋1＝0}

4．已知集合A＝{1，a^2}，实数a不能取的值的集合是________．

5．已知集合A＝{1，x，x^2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值．

6．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )

A．0 B．2

C．3 D．6

三、解答题

1．选择适当的方法表示下列集合集．

(1)由方程x(x^2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；

(2)大于2且小于6的有理数；

(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．

2．设A表示集合{a^2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5∉ B，求a的值．

能力提升

一、选择题（中）

1、(2014•湖北,3,中)设U为全集,A,B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁uC”是A∩B=Ø的（）

A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件

C 充要条件 D既不充分也不必要的条件

2、已知集合U=A∪B中有m个元素， ∁uA∪∁uB中有n个元素，若A∩B 非空，则A∩B元素的个数为多少？

3、（2015湖北，中）已知集合 A={（x，y）|x ^2 +y ^2≤1，x，y∈Z}，

B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）

A.77 B.49 C.45 D.30

假设非空集合A中含有n个元素，则有：

A的子集个数为2 ^n

A的真子集的个数为2 ^n -1

A的非空子集的个数为2 ^n -1

A的非空真子集的个数为2 ^n -2

例1、设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（ ）

A．57 B．56 C．49 D．8

例2、设U=R,集合A={x|x^2 +3x+2=0},B={x|x^2+(m+1)x+m=0}.若（∁uA）∩B=∅，试求实数m的值。

易错题

易错点一：空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。并且Ø⊆{Ø}

1、已知集合A{2，3}，则子集个数为（），真子集个数为（）

A 2 4 B 3 2 C 2 6 D 4 3

2、若集合A={x|ax^2-3x+2=0}的子集只有两个，则a满足（）

A a<9/8 B a>9/8 C a=0 D a=0或a= 9/8

易错点二：当集合A⊆B时，集合A可能是空集，也可能不是，所以要分类讨论

3、设全集为R，A={x|2x^2-7x+3≤0}，B={x|x^2+a＜0}

（1）若a=-4，求A∩B和A∪B

（2）若∁RA∩B=B，求实数a的取值范围

企业单位常考题（容斥原理）

一、两个集合

1、A∪B=A+B-A∩B

集合中空白部分=A+B-2（A∩B）

如：全班有22人，参加A活动的有10人，参加活动B的有15人，即参加A也参加B的有5人。

①即参加A也参加B的为：A∩B

②只参加一项活动的为：“空白”处的人数A+B-2（A∩B）。

③即只参加一项活动的为：10+15-2×5=15人

④一项活动都没参加的为：（总人数）-（A∪B）

例题：有68名人，45人是硕士，30人是博士，12人即是博士，也是硕士，则两者都不是的有多少人（）

解析：所求为68- [（45+30）-12]=5

二、三个集合

由图可知，在A∪B∪C中，绿色部分重复两次，红色部分重复三次。

求A∪B∪C，则需要减去一次绿色，减去两次红色。

①A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

（A+B+C-A∩B时包含减去红色部分A∩B∩C一次，同理A+B+C- A∩C也减去红色A∩B∩C一次，A+B+C- B∩C减去红色一次，所以共减去三次红色，而只需减去两次红色部分，所以最后需要加上一次A∩B∩C）

由①知：红色部分为：②A∩B∩C=A∪B∪C-（A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C）

空白处部分：③ A+B+C-[2A∩B+2A∩C+2B∩C-3A∩B∩C]

例如：有很多人参加A、B、C三种比赛，则

①三种比赛都参加的为：红色部分A∩B∩C=A∪B∪C-（A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C）

②一种比赛都没参加的为：总人数-A∪B∪C

③只参加一项的为空白部分：A+B+C-[2A∩B+2A∩C+2B∩C-3A∩B∩C]

例1、有18人参加A、B、C三个项目比赛，有8人参加A，10人参加B，12人参加C，有4人参加A和B，6人参加B和C，5人参加A和C，有2人参加A、B、C，求只参加1个项目的人。

例2、某班共有27人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有21人，参加化学兴趣小组的有10人，参加物理兴趣小组的有17人，同时参加数学、物理兴趣小组的有12人，参加数学、化学兴趣小组的有6人，三个兴趣小组都参加的有2人.问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

例3、有300道题用于三张试卷，其中A试卷中出现110道题，B试卷中出现160道题，C试卷中出现100道题，在两份试卷中同时出现的有70道题，在三份试卷中同时出现的有25道题，问有多少题没有出现。

习题答案

基础题：

1．已知A＝{x|3－3x＞0}，则下列各式正确的是( )

A．3∈A B．1∈A

C．0∈A D．－1∉A

解析：集合A表示不等式3－3x＞0的解集．显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.

1．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.

解析：用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.

1．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )

A．{y|y＝2} B．{x＝2}

C．{2} D．{x|x^2－4x＋4＝0}

解析：{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．故选B.

2．下列命题中正确的( )

①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．

A．只有①和④ B．只有②和③

C．只有② D．以上语句都不对

解析：{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；

②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选C.

3．用列举法表示集合{x|x^2－2x＋1＝0}为( )

A．{1,1} B．{1}

C．{x＝1} D．{ x^2－2x＋1＝0}

解析：集合{x|x^2－2x＋1＝0}实质是方程x^2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B.

4．已知集合A＝{1，a^2}，实数a不能取的值的集合是________．

解析：由互异性知a^2≠1，即a≠±1，

5．已知集合A＝{1，x，x^2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值．

解析：因为集合A与集合B相等，

所以x^2－x＝2.∴x＝2或x＝－1.

当x＝2时，与集合元素的互异性矛盾．

当x＝－1时，符合题意．

∴x＝－1.

6．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )

A．0 B．2

C．3 D．6

解析：依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.

三、解答题

1．选择适当的方法表示下列集合集．

(1)由方程x(x^2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；

(2)大于2且小于6的有理数；

(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．

解析：(1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x^2－2x－3)＝0}，有限集．

(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}，无限集．

(3)用描述法表示该集合为

M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为

{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．

2．设A表示集合{a^2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5∉ B，求a的值．

解析：因为5∈A，所以a^2＋2a－3＝5，

解得a＝2或a＝－4.

当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．

当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4.

能力提升

一、选择题（中）

1、(2014•湖北,3,中)设U为全集,A,B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁uC”是A∩B=Ø的（）

A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件

C 充要条件 D既不充分也不必要的条件

解答：充分性：由图可知，若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B=∅；

必要性：如图，若A∩B=∅，可知，存在A⊆C，同时满足B⊆∁UC．

故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件．

2、已知集合U=A∪B中有m个元素， ∁uA∪∁uB中有n个元素，若A∩B 非空，则A∩B元素的个数为多少？

解析：解法一：如图，U=A∪B中有m个元素，

黄色表示∁uB，红色表示∁uA，且∁uA∪∁uB中有n个元素

所以A∩B中有m-n个元素

解法二：∁u(A∩B)= ∁uA∪∁uB ，∁u(A∪B)= ∁uA∩∁uB 得∁u(A∩B)=n，则A∩B=m-n

3、（2015湖北，中）已知集合A={（x，y）|x^2+ y^2≤1，x，y∈Z}，

B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）

A.77 B.49 C.45 D.30

解法一（不推荐）：

∵A={（x，y）|x^2+ y^2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0），

B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，-1），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，-1），（2，-2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-2，-2），（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2）}

∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，

∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，-1），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，-1），（2，-2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-2，-2），（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），

（-2，3），（-2，-3），（0，-3），（2，-3），（-1，3），（-1，-3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，-1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，-2）（-3，2）（-3，1），（1，-3），（-3，-1），（-3，0），（-3，-2）}共45个元素；

解法二：因为集合A={（x，y）|x^2+ y^2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7-4=45个．

解法三（推荐）：当x1=0时,y1可取一1,0,1,y2和x2可取-2,-1,0,1,2.

此时x1+x2的值为-2,-1,0,1,2;y1+y2的值为-3, -2,-1,0,1,2,3

∴(x1+x2,y1+y2)共有5×7=35(个).

当x1=1时,y1=0,x2和y2可取一2,-1,0,1,2,

此时x1+x2的值为-1,0,1,2,3;y1+y2的值为-2,-1,0,1,2.其中x1+x2取-1,0,1,2时与上面重复,

∴x1+x2=3,y1+y2的值为 2,-1,0,1,2. 则(x1+x2,y1+y2)共有5×1=5(个) 。

当x1=-1时,y1=0（同x1=1,y1=0时）, x2和y2可取一2,-1,0,1,2,

此时x1+x2的值为-3，-2，-1,0,1；y1+y2的值为-2,-1,0,1,2.

其中x1+x2取-1,0,1,-2时与上面重复,

∴x1+x2=-3，y1+y2的值为 2,-1,0,1,2，则(x1+x2,y1+y2)共有5×1=5(个)

∴总个数为35+5+5=45答案C

例1、设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（ ）

A．57 B．56 C．49 D．8

解析：

集合A的子集有：2^6=64 个

又S∩B≠∅，B={4，5，6，7，8}，

所以S不能为包含1,2,3子集的集合，共2^3=8：即{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∅共8个，

则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是64-8=56．

例2、设U=R,集合A={x|x^2+3x+2=0},B={x|x^2+(m+1)x+m=0}.若（∁uA）∩B=∅，试求实数m的值。

解析：由x^2+3x+2=0得(x+1)(x+2)=0。所以x=-1或x=-2

A={-1,-2}

由x^2+(m+1)x+m=0得(x+m)(x+1)=0。所以x=-m或x=-1

(∁uA)∩B=空集

∁uA={x|x≠-1且x≠-2}

所以B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}

当B={-1}时，m=1

当B={-2}时，则-（m+1）=-2+（-2）=-4且m=-2*（-2）=4这两者不能同时成立，故矛盾.(x1*x2=c/a，x1+x2=-b/a)

当B={-1,-2时}，-（m+1）=-1+（-2）=-3且m=-1*（-2）=2这两者能同时成立，m=2

所以m=1或m=2

易错题

易错点一：空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。并且Ø⊆{Ø}

1、已知集合A{2，3}，则子集个数为（），真子集个数为（）

A 2 4 B 3 2 C 2 6 D 4 3

解析：子集{2}{3}{2,3}{Ø}，真子集{2}{3}{Ø}

2、若集合A={x|ax^2-3x+2=0}的子集只有两个，则a满足（）

A a<9/8 B a>9/8 C a=0 D a=0或a= 9/8

解析：空集是任何集合的子集，所以ax^2-3x+2=0只有一个解。当a=0时满足，当△=0时，即a= 9/8时满足

易错点二：当集合A⊆B时，集合A可能是空集，也可能不是，所以要分类讨论

3、设全集为R，A={x|2x^2-7x+3≤0}，B={x|x^2+a＜0}

（1）若a=-4，求A∩B和A∪B

（2）若∁RA∩B=B，求实数a的取值范围

解析：A={x|2x^2-7x+3≤0}={x| 1/2 ≤x≤3} B={x|x^2+a＜0}

(1)若a=-4，则B={x|x^2-4<0}={x|-2<x<2}，所以A∩B={x| (1 )/(2 ) ≤x<2}

A∪B={x|-2<x≤3}

(2)错解： ∁RA ={x|x<1/2或x>3}

因为∁RA∩B=B，说明B是∁RA的子集

而B={x|-√(-a)<x<√(-a)}，所以a＜0且√(-a)＜1/2

综上，- 1/4＜a＜0

正解：∁RA ={x|x<1/2或x>3}

因为∁RA∩B=B，说明B是∁RA的子集

当B=空集时，a≥0符合

当B≠空集时 B={x|-√(-a)<x<√(-a)}

所以√(-a)≤ 1/2，那么- 1/4≤a<0

综上，实数a的取值范围是{a|a≥- 1/4}

企业单位常考题（容斥原理）

例题：有68名人，45人是硕士，30人是博士，12人即是博士，也是硕士，则两者都不是的有多少人（）

解析：所求为68- [（45+30）-12]=5

例1、有18人参加A、B、C三个项目比赛，有8人参加A，10人参加B，12人参加C，有4人参加A和B，6人参加B和C，5人参加A和C，有2人参加A、B、C，求只参加1个项目的人。

解析：只参加一项的为：A+B+C-[2A∩B+2A∩C+2B∩C-3A∩B∩C]

=8+10+12-[2×4+2×6+2×5-2×3]

例2、某班共有27人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有21人，参加化学兴趣小组的有10人，参加物理兴趣小组的有17人，同时参加数学、物理兴趣小组的有12人，参加数学、化学兴趣小组的有6人，三个兴趣小组都参加的有2人.问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

解析：三种都参加的为：A∩B∩C=A∪B∪C-（A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C）

即2=27-（48-12-6-物理化学）

解得参加物理、化学的为5人

例3、有300道题用于三张试卷，其中A试卷中出现110道题，B试卷中出现160道题，C试卷中出现100道题，在两份试卷中同时出现的有70道题，在三份试卷中同时出现的有25道题，问有多少题没有出现。

解析： 没出现的为：总数-A∪B∪C=300-[110+160+100-70-2×25]=50