一、核心知识
1.轴对称图形和两图形成轴对称：
如果把一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为 轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
轴对称图形是对两个图形而言，而成轴对称是 一个图形之间的关系，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它又可看成是一个轴对称图形。
2.轴对称的性质：成轴对称的两个图形 全等；成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴 ；
3. 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做 等边三角形。
4.等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个两边 相等
性质2：等腰三角形的三线合一
等腰三角形是轴对称图形
5. 等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个相等，那么这两个角所对的边也相等
6.等边三角形的性质：
（1）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴；
（2）等边三角形的各角相等且每一个角都等于60度；
7.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
8. 与对称构造有关的直角三角形的性质：
性质一：“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”
性质二：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”
二、题型分析
（一）、轴对称性质的简单应用
【例1】如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A =∠1＋∠2 B．2∠A =∠1＋∠2
C．3∠A =∠1＋∠2 D．3∠A =2（∠1＋∠2）
【点拨】考虑把图形还原，则折起的部分与折起前是什么关系呢？
【反思与小结】根据问题的某些特征，运用轴对称思想去添加辅助线，把已知图形的部分或全部补为轴对称形，再利用轴对称性质，常常能较易地从图形各元素的对应关系发现其间的内在联系，找到解题的思路．
（二）、利用轴对称设计图案
【例2】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.
【点拨】小正方形本身就是轴对称图形，而且有四条对称轴，观察图中三个小正方形组成的图形不是轴对称图形，至少需要增画一个小正方形才能组成轴对称图形，思考正方形的对称轴有几条？如何应用对称轴增画一个小正方形使其组成一个轴对称图形？
【反思与小结】每个正三角形有三条对称轴，每个正方形有四条对称轴，每个正边形有条对称轴。本题利用正方形有四条对称轴，分别添画一个正方形使其变成轴对称图形，实际上就是根据正方形四条的对称轴进行添画。
【举一反三】如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙.）
【解答】
【反思与小结】此类问题主要是利用正方形的轴对称性性质，根据具体要求分类探究。
（三）、轴对称变换与最短路程
【例3】最短路程画图
问题一：如图1，点A、点B在直线的两侧，在直线上画一点P，使得PA+PB最小
问题二：如图2，点A、点B在直线的同侧，在直线上画一点P，使得PA+PB最小
问题三：如图3，在∠AOB内部有一个点定点P，能否分别在OA、OB上画一个点M、N，使得△PMN的周长最小？
若∠AOB=30°，OP=10，求△PMN周长的最小值？
【点拨】（1）思考能否应用线段的性质进行解答？
【解答】
【反思与小结】对于（1）主要是应用线段的性质进行解答；对于（2）是如何应用对称将将七转化为（1）？对于解决（3）中两个动点的问题的策略是令其中的一个动点M（或N）固定，找到合适的点N（或M），再让动点M（或点N）运动，找到合适的答案。也就是说：将（3）转化为问题（1）、（2）的情形。例3是求“最短路程”的重要模型，一定要注意总结归纳提升。
【举一反三（1）】最短路程画图：
从A到B地需要穿过一条河，而河的宽度为，由于经济方面的思考，建造过河的桥要垂直于河的两岸（河的两岸平行），请设计行走路线，使所走的线路的长度最短？
【点拨】对于图1，利用两点之间线段最短容易解决；对于图2，实际行走是“地面上陆地——桥——地面上的陆地”，对于地面上的路可行走直线段，而对于桥，需要走河的宽度，由于是在纸上设计行走路线，能否先走河的宽度，再走陆地上的直线段？那么如何设计线路？
【解答】
【举一反三（2）】直线⊥，点B在直线上，点C在直线上，A、D是平面上的固定点，请设
计点B、C使得四边形ABCD的周长最小？
【举一反三（3）】最短路程画图 如图，从A地到B地需要穿过两条河，而河的宽度分别为、，由于经济方面的思考，建造过河的桥要垂直于河的两岸（河的两岸平行），请设计行走路线，使所走的线路的长度最短？
【点拨】能否仿照上题的（2）思考？如何设计？
【举一反三（4）】在正△ABC中，BD⊥AC于D，点N在BC上运动，点M在BD上运动，如何设计M、N才能使得CM+MN最短？
（四）、轴对称性质应用与特殊图形面积的求法
【例4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=a，求△ABC的面积值
【点拨】思考一：要求，需要知道△ABC的底与高，而条件中已知斜边，能否求出斜边上高？
思考二：两个△ABC会组成怎样的图形？能否求出它的面积？四个△ABC会组成怎样的图形？能否求出它的面积【反思与小结】两个全等的等腰直角三角形组成一个大的等腰直角三角形，四个全等的等腰直角三角形能组成一个正方形，而正方形的边就是直角三角形的斜边，容易求出其面积。本题实际上是利用等腰直角三角形和对称的性质进行构造与转
五、简单轴对称图形的构造
【例5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，求证：BC=AB
【点拨】思考一：要证：BC=AB，也就是证明AB=2BC，如何构造2 BC，能否应用对称法构造2 BC？
思考二：要证：BC=AB，其中∠A=30°，得到∠B=60°，能否以∠B为其中的一个角构造等边三角形进行证明？
【举一反三】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，
求证：∠BAC=30°，
【点拨】思考一：由已知条件BC=AB，能否应用对称法构造2 BC？
思考二：要证明∠A=30°，只要证明∠B=60°问题解决，
能否以∠B为其中的一个角构造等边三角形进行证明？
【反思与小结】要证明倍分问题，一般是采取“加倍法”和“折分法”；本题实际上直角三角形的两个重要性质的证明。
性质一：“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”
性质二：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”
在证明这两条性质时应用了对折构造的方法。
【例6】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD
【点拨】要证AB十BD＝CD．能否应用“截长补短”？如何“截长”？如何“补短”？
【反思与小结】本题实际上应用了对称变换。通过对称，将某些元素相对集中，从而易于问题的解决。
【例7】在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，，过点C作CE⊥AB于E，并且AE=1/2（AB+AD），
求证：∠D+∠ABC=180°
【点拨】由已知AC平分∠DAB，能否利用角平分线构造对称图形，通过对称的性质探究解法？
【反思与小结】角平分线所在直线是角的对称轴。通过角平分线所在直线构造对称图形，利用轴对称图形的性质解答问题，是一种重要辅助线的构造方法。本题利用角平分线，构造全等进而解决问题。
【举一反三】在△ABC中，AD平分∠BAC，M为BC的中点，DM⊥BC于M，
若AB=10，AC=6，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
①求证：△ADE≌△ADF，②求证：△BDM≌△CDM，③求AE的长度；
【点拨】对于①、②，由角平分线和垂直平分线的对称性容易得到；
对于③要求AE的长，已知AB、AC的长度，
由全等三角形的性质能否得出AB、AC、AE、AF之间关系？有何关系？
【反思与小结】角平分线所在直线是一个角图形的对称轴。利用角平分线可以构造全等三角形，可以得到线段、角之间的关系。本例是利用角平分线构造全等三角形，从而得到角、线段之间的关系。
【例8】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上的点，AE⊥DE交BD的延长线于点E，且AE=
求证：BD平分∠ABC
【点拨】要证明：BD平分∠ABC，发现图形给人以“不完整”的感觉，能否将图形成“完整图形”通过构造全等给以证明？
【反思与小结】本题在证明BD平分∠ABC时所构造的辅助线，实际上是在分析的基础上，利用轴对称构造全等三角形进行解答。
三、总结与积累
在轴对称变换下，图形上两点间的距离、角度、面积等保持不变，而这种变换在现实生活中有着广泛的应用和丰富的文化价值.同时通过这种变换，可以使相关的元素相对集中，从而构造新图形，在解决问题中起着出奇制胜的效果. 等腰三角形是以顶角平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，等腰三角形的“两底角相等”、“三线合一”等性质是几何证明和计算的重要依据.善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务是解几何题的常用技巧.
加载中,请稍侯......
精彩评论